Üslü Sayılar — AYT soruları

Kısaca — $4^x+4^{-x}$ toplamı $\dfrac{17}{4}$’tür.

Verilen eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak tam kare açılımından $(2^x+2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2\cdot 2^x\cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 = \left(\dfrac{5}{2}\right)^2$ elde ederiz. $2^x \cdot 2^{-x} = 2^0 = 1$ olduğundan eşitlik $4^x + 2 + 4^{-x} = \dfrac{25}{4}$ hâline gelir; buradan $4^x + 4^{-x} = \dfrac{25}{4} - 2 = \dfrac{17}{4}$ bulunur. Tam kare açılımındaki ortadaki $+2$ çarpımını unutarak doğrudan $\dfrac{25}{4}$ seçeneğine gitmemeye dikkat etmelisin.

Kısaca — İfade $2^x$ parantezine alınıp çarpanlar incelendiğinde $x = 3$, $y = 5$ ve çarpımları 15 bulunur.

$x < y$ koşulu verildiğinden sol tarafı küçük olan terim yani $2^x$ parantezine alalım:
$2^x\left(1 + 2^{y-x}\right) = 40$
$x$ ve $y$ pozitif tam sayı ve $y > x$ olduğundan $y - x \geq 1$’dir; bu nedenle $2^{y-x}$ çift, $1 + 2^{y-x}$ ise kesinlikle tek sayıdır. 40 sayısını $2^3\cdot 5$ olarak asal çarpanlarına ayırdığımızda tek çarpan 5, çift kuvvet ise $2^3$ olmalıdır: • $2^x = 2^3 \implies x = 3$ • $1 + 2^{y-x} = 5 \implies 2^{y-x} = 4 = 2^2 \implies y - x = 2 \implies y = 5$ Buradan $x\cdot y = 3\cdot 5 = 15$ elde edilir.

Kısaca — $a+b$ toplamının değeri 23’tür.

İlk olarak payı hesaplayalım: $q^{3}=(5\times 10^{4})^{3}=125\times 10^{12}$ olduğundan pay $p\cdot q^{3}=(4\times 10^{-6})\times (125\times 10^{12})=500\times 10^{6}=5\times 10^{8}$ olur. Paydayı düzenlediğimizde $r\cdot 5\times 10^{-8}=(2\times 10^{-3})\times (5\times 10^{-8})=10\times 10^{-11}=10^{-10}$ elde edilir. Payı paydaya böldüğümüzde $\dfrac{5\times 10^{8}}{10^{-10}}=5\times 10^{8-(-10)}=5\times 10^{18}$ sonucuna ulaşılır. Buradan bilimsel gösterim katsayısı $a=5$ ve üs $b=18$ olup $a+b=5+18=23$ bulunur; paydadaki $2\times 5=10$ katsayısının üssü 1 artırıp $10^{-10}$ yaptığını gözden kaçırmak $b$’yi yanlış hesaplatarak 17 gibi çeldiricilere yönlendirir.