Asal Çarpanlar ve Faktöriyel — AYT soruları

Kısaca — Eşitliği ve $a \le b$ koşulunu sağlayan 5 farklı $(a,b)$ sıralı ikilisi vardır.

Eşitlikte paydaları eşitleyip içler dışlar çarpımı yaptığımızda $6(a+b) = ab$ elde ederiz. Bu ifadeyi $ab - 6a - 6b + 36 = 36$ biçiminde düzenlersek $(a-6)(b-6) = 36$ çarpanlarına ayrılır. $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olup $a \le b$ olduğundan $a-6 \le b-6$ şartıyla $a-6$ değeri 36’nın $\sqrt{36}=6$’ya kadar olan pozitif bölenlerini yani $1, 2, 3, 4, 6$ sayılarını alabilir. Bu bölenlere karşılık gelen $(a, b)$ ikilileri sırasıyla $(7,42), (8,24), (9,18), (10,15)$ ve $(12,12)$ olmak üzere tam 5 tanedir; $a \le b$ şartını dikkate almayanlar simetrik ikilileri de sayarak yanılgıya düşebilir.

Kısaca — Sondan 12 sıfır içeren en küçük faktöriyel $50!$ olduğundan aranan en küçük $n$ değeri 50’dir.

Bir $n!$ sayısının sondaki sıfır sayısı, içindeki asal 5 çarpanlarının sayısı olan $\lfloor n/5 \rfloor + \lfloor n/25 \rfloor + \dots$ formülüyle bulunur. $n = 48$ ve 49 için 5’e bölümden 9, 25’e bölümden 1 gelerek toplam $9 + 1 = 10$ sıfır oluşur. $n = 50$ olduğunda ise $50 = 2 \cdot 5^2$ sayısı iki adet 5 çarpanı birden getirdiği için sıfır sayısı doğrudan $10 + 2 = 12$’ye sıçrar. Dolayısıyla hiçbir sayının faktöriyeli 11 sıfırla bitmez ve 12 sıfıra ulaşan en küçük sayı 50’dir; her 5’in katında bir sıfır eklenir yanılgısıyla $12 \cdot 5 = 60$ düşünmek sık yapılan bir hatadır.

Kısaca — $n=4$ için eşitliği sağlayan $k$ değeri 36’dır.

Eşitliğin sol tarafındaki ifadeleri $n!$ ortak çarpan parantezine alırsak $n! + (n+1)n! + (n+2)(n+1)n! = n! \cdot [1 + (n+1) + (n+1)(n+2)]$ olur. Her iki tarafı $n!$ ile sadeleştirdiğimizde $k = 1 + (n+1) + (n+2)(n+1)$ eşitliğini elde ederiz; bu ifade $k = (n+2)^2$ olarak da toparlanabilir. $n = 4$ değerini yerine yazarsak $k = 1 + 5 + 6 \cdot 5 = 1 + 5 + 30 = 36$ (veya $(4+2)^2 = 36$) bulunur; $n!$ parantezine alırken baştaki 1 terimini unutanlar sıklıkla 30 gibi çeldiricilere takılabilir.