Diziler — AYT soruları

Kısaca — Dizi 6 terimde bir kendini tekrar eder ve $a_{20} = a_2 = 5$ olur.

Verilen $a_{n+2} = a_{n+1} - a_n$ kuralına göre ilk terimleri sırasıyla yazalım: $a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_3 = 5 - 2 = 3$, $a_4 = 3 - 5 = -2$, $a_5 = -2 - 3 = -5$, $a_6 = -5 - (-2) = -3$, $a_7 = -3 - (-5) = 2 = a_1$ ve $a_8 = 5 = a_2$ elde edilir. Görüldüğü gibi dizi 6 terimlik bir periyoda sahiptir ($2, 5, 3, -2, -5, -3$). 20’nin 6’ya bölümünden kalan 2 olduğundan $a_{20} = a_2 = 5$ bulunur. Bölme kalanını 1 alıp ilk terim olan 2’ye yönelmek sık yapılan bir periyot hatasıdır.

Kısaca — Terimlerin simetrisinden $a_6=15$ ve dizinin artan olmasından ortak fark $d=3$ bulunur; ilk terimi 0 olan dizinin ilk on terim toplamı 135 çıkar.

Aritmetik dizide indis toplamları eşit olan terimlerin toplamı eşittir: $a_4+a_8=2a_6=30$ olduğundan ortanca terim $a_6=15$ gelir. $a_3$ ve $a_9$ terimlerini $a_6$ cinsinden $(15-3d)$ ve $(15+3d)$ olarak yazarsan çarpımları $225-9d^2=144$ olur. Buradan $9d^2=81$ gelir ve dizi artan olduğundan ortak farkı $d=3$ alırsın. İlk terim $a_1=a_6-5d=15-15=0$ ve son terim $a_{10}=15+4(3)=27$ olduğundan ilk 10 terim toplamı $S_{10}=\dfrac{10\cdot(0+27)}{2}=135$ bulunur.

Kısaca — Terimleri $a_3=12$ etrafında yazarak $r+\dfrac{1}{r}=\dfrac{5}{2}$ bulunur; simetriden dolayı birinci ve beşinci terimler 3 ile 48 olup toplamları 51 yapar.

Geometrik dizide terimleri verilen $a_3=12$ cinsinden yazarsan $a_2=\dfrac{12}{r}$ ve $a_4=12r$ olur. Bu iki terimin toplamı $\dfrac{12}{r}+12r=30$ olduğundan paranteze aldığında $r+\dfrac{1}{r}=\dfrac{5}{2}$ eşitliğine ulaşırsın. Buradan $r=2$ veya $r=\dfrac{1}{2}$ gelir; her iki durumda da uç terimlerin kümesi $\{3, 48\}$ olarak belirlenir. Dolayısıyla senden istenen $a_1+a_5$ toplamı $3+48=51$ olarak bulunur.