Basit Eşitsizlikler — AYT konu anlatımı ve örnek sorular

Basit Eşitsizlikler, ifadelerin büyüklük ve küçüklük ilişkilerini inceleyerek bu ilişkileri sağlayan değerleri veya aralıkları belirlemeyi kapsar.

Öğrencinin ifadeleri çarpanlarına ayırabilmesi, kritik noktaları belirleyerek işaret incelemesi yapabilmesi ve çözüm kümesini tanım koşullarıyla birlikte değerlendirebilmesi gerekir. AYT Matematik sorularında kesirli ifadeler, mutlak değer içeren paydalar ve tam sayı koşuluna bağlı parametreler üzerinden çözüm kümesi ya da parametre değerlerinden elde edilen bir sonuç sorulabilir.

Seçenekler farklı aralıklar veya sayısal sonuçlar biçiminde sunulabilir. Paydayı sıfır yapan değerleri çözüme katmak, eşitlik durumunda sınır noktalarını yanlış değerlendirmek ve negatif ifadeyle çarparken eşitsizliğin yönünü değiştirmemek sık yapılan hatalardır.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruKolay

$x\ne-2$ olmak üzere,

\dfrac{x-1}{x+2}\le0

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

(-2,1)

✗ Bu değil

[-2,1)

✗ Bu değil

[-2,1]

✗ Bu değil

(-\infty,-2)\cup[1,\infty)

✗ Bu değil

(-2,1]

✓ Doğru

Cevabı göster

Cevap: E — $(-2,1]$

Kısaca — Eşitsizliğin çözüm kümesi $(-2,1]$ aralığıdır.

Payın kökü $x=1$ ve paydanın kökü $x=-2$ ’dir. Bu köklerle işaret tablosu oluşturduğunda, $x>1$ için ifade pozitif, $(-2,1)$ aralığında negatif ve $x<-2$ için pozitiftir. Eşitsizlikte sıfıra eşitlik de istendiğinden payı sıfır yapan 1 değeri çözüme dâhil edilirken, paydayı sıfır yapan $-2$ değeri ifadeyi tanımsız kıldığı için açık bırakılmalıdır. Eşitsizlikteki $\le$ sembolüne aldanıp paydayı sıfır yapan değeri de köşeli parantezle dahil ederek $[-2,1]$ aralığına yönelmek en sık yapılan çeldirici hatasıdır.

2. soruOrta

$x\ne2$ olmak üzere,

\dfrac{x^2-4x+3}{|x-2|}<0

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

(1,3)

✗ Bu değil

(1,2)

✗ Bu değil

(-\infty,1)\cup(3,\infty)

✗ Bu değil

(1,2)\cup(2,3)

✓ Doğru

[1,2)\cup(2,3]

✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: D — $(1,2)\cup(2,3)$

Kısaca — Çözüm kümesi $(1,2)\cup(2,3)$ birleşimidir.

Paydadaki $|x-2|$ ifadesi sıfırdan farklı her gerçel sayı için kesinlikle pozitif olduğundan kesrin negatif olması yalnızca payın negatif olmasına bağlıdır. Payı çarpanlarına ayırdığımızda $(x-1)(x-3)<0$ elde edilir ve bu eşitsizlik köklerin arası olan $(1,3)$ açık aralığını verir. Ancak sorunun başında da belirtildiği üzere $x=2$ değeri paydayı sıfır yaparak ifadeyi tanımsız kıldığından bu aralıktan mutlaka çıkarılmalıdır. Tanımsızlık noktasını gözden kaçırıp çözümü doğrudan $(1,3)$ aralığı olarak almak en temel çeldirici tuzaktır.

3. soruOrta

$a$ bir tam sayı olmak üzere,

\dfrac{x-a}{x+2}\leq 0

eşitsizliğini sağlayan yalnızca 4 farklı $x$ tam sayısı vardır.

Buna göre, $a$ ’nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: B — $-12$

Kısaca — $a$ ’nın alabileceği değerlerin çarpımı $-12$ ’dir.

Payda sıfır olamayacağından $x \neq -2$ olduğuna dikkat etmelisin. Eğer $a > -2$ ise çözüm aralığı $(-2, a]$ olur; bu aralıktaki dört tam sayı $-1, 0, 1, 2$ olacağından $a = 2$ bulunur. Eğer $a < -2$ ise çözüm aralığı $[a, -2)$ olur; bu aralıktaki dört tam sayı $-6, -5, -4, -3$ olacağından $a = -6$ bulunur. Buradan $a$ ’nın alabileceği değerlerin çarpımı $2 \cdot (-6) = -12$ çıkar; paydadaki $-2$ ’yi de çözüme dahil ederek hatalı kök saymamaya dikkat edilmelidir.

Basit Eşitsizlikler — AYT soruları

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Matematik