Mantık — AYT konu anlatımı ve örnek sorular

Mantık, önermelerin doğruluk değerlerini, mantıksal bağlarla kurulan ifadeleri ve niceleyicilerin anlamını kapsar.

Öğrencinin her ve en az bir gibi ifadeleri ayırt etmesi, verilen koşulları birlikte değerlendirmesi ve genel bir önermenin yanlışlığını aksine örnekle gösterebilmesi beklenir. AYT Matematik sorularında bu beceriler gerçek sayılar, tam sayılar, koordinatlar veya sayısal eşitsizlikler üzerinden yoklanabilir. Seçenekler doğruluk değerlerinin sıralanışı, koşullara uyan bir nokta ya da yanlışlığı gösterilebilen önermelerin farklı gruplamaları biçiminde sunulabilir.

Niceleyicilerin sırasını gözden kaçırmak, bir örnekte doğru olan ifadeyi her durumda doğru sanmak ve bileşik önermenin yanlışlığını hatalı yorumlamak sık yapılan hatalardır.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruOrta

Gerçek sayılar kümesinde

$p$ : “Her $x$ için $x+y=0$ olacak en az bir $y$ vardır.”

$q$ : “Öyle bir tek gerçek sayı $x$ vardır ki bütün gerçek $y$ değerleri için aynı anda $x+y=0$ olur.”

$r$ : “Her $x$ için $x^2\ge x$ olur.”

önermeleri veriliyor.

Buna göre, $p$ , $q$ ve $r$ önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Doğru - Doğru - Yanlış✗ Bu değilDoğru - Yanlış - Yanlış✓ DoğruYanlış - Doğru - Yanlış✗ Bu değilYanlış - Yanlış - Doğru✗ Bu değilDoğru - Yanlış - Doğru✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: B — Doğru - Yanlış - Yanlış

Kısaca — Önermelerin doğruluk değerleri sırasıyla Doğru - Yanlış - Yanlış şeklindedir.

Önermeleri sırasıyla inceleyelim:

$p$ önermesinde her gerçek $x$ sayısı için $y=-x$ seçildiğinde $x+(-x)=0$ sağlandığından önerme doğrudur (1).
$q$ önermesinde bütün $y$ ’ler için aynı anda $x+y=0$ yapacak tek bir $x$ aranmaktadır; oysa $y=0$ için $x=0$ , $y=1$ için $x=-1$ gerektiğinden tüm reel sayıları aynı anda sıfırlayan ortak bir $x$ yoktur, önerme yanlıştır (0).
$r$ önermesinde $x^2\ge x$ eşitsizliği $0<x<1$ aralığındaki sayılar için bozulur; örneğin $x=\dfrac{1}{2}$ için $(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}$ olduğundan önerme yanlıştır (0).

2. soruOrta

Tam sayı koordinatlı bir $K(a,b)$ noktası için

$p$ : $a+b$ toplamı çifttir.

$q$ : $a\cdot b<0$ olur.

$r$ : $|a|>|b|$ olur.

önermeleri veriliyor. Hem $p\Rightarrow q$ hem de $(p\vee q)\Rightarrow r$ önermeleri yanlıştır.

Buna göre, $K$ noktası aşağıdakilerden hangisi olabilir?

(2,4)

✓ Doğru

(4,2)

✗ Bu değil

(-2,4)

✗ Bu değil

(1,2)

✗ Bu değil

(-3,-1)

✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: A — $(2,4)$

İki önermenin yanlışlığı $p$ doğru, $q$ yanlış ve $r$ yanlış koşullarını verir. $(2,4)$ için toplam çift, çarpım pozitif ve $|2|\le|4|$ olduğundan üç koşul da sağlanır.

3. soruZor

$n$ pozitif tam sayı olmak üzere aşağıdaki önermeler veriliyor.

I. Her $n \ge 1$ için $n^2 + n + 41$ bir asal sayıdır.

II. Her $n \ge 1$ için $2^n > n^2$ dir.

III. Her $n \ge 1$ için $n! \ge 2^{n-1}$ dir.

Yanlışlığı aksine örnekle gösterilebilen önermeler aşağıdakilerden hangisinde tam olarak verilmiştir?

Cevabı göster

Cevap: D — I ve II

Kısaca — I. önerme $n = 40$ (veya $n = 41$ ), II. önerme ise $n = 3$ değeriyle çürütülür; III. önerme ise her $n \ge 1$ için daima doğru olduğundan aksine örnekle gösterilebilenler I ve II dir.

I. önermede $n = 40$ yazıldığında $40^2 + 40 + 41 = 40(41) + 41 = 41^2$ elde edilir; sayı 41’e tam bölündüğünden asal değildir ve iddia çürütülür. II. önermede $n = 3$ seçildiğinde $2^3 = 8$ ve $3^2 = 9$ olup $8 > 9$ eşitsizliği sağlanmaz (ayrıca $n = 2$ ve $n = 4$ durumlarında da eşitlik çıkar). III. önermede ise $n = 1$ için $1 \ge 1$ dir ve $n \ge 2$ için çarpımdaki terimler $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n \ge 1 \cdot 2 \cdot 2 \dots 2 = 2^{n-1}$ eşitsizliğini daima sağladığından bu ifade tümevarımla her pozitif tam sayı için kanıtlanır. Dolayısıyla yanlışlığı aksine örnekle kanıtlanabilen önermeler sadece I ve II dir.

Mantık — AYT soruları

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Matematik