Kümeler — AYT soruları

Kısaca — Koşulları sağlayan 30 farklı $A$ kümesi yazılabilir.

$1\in A \iff 5\in A$ denkliği nedeniyle problemi iki ayrık duruma ayırmalıyız. Birinci durumda $1\in A$ ve $5\in A$ olsun; $\{1,2,3,4\}$ kümesinden 1’in yanına $\binom{3}{1}=3$ eleman, kalan tek boşluğa ise $\{6,7,8,9\}$ kümesinden $\binom{4}{1}=4$ eleman seçilerek $3\cdot4=12$ küme oluşturulur. İkinci durumda $1\notin A$ ve $5\notin A$ olsun; bu kez $\{1,2,3,4\}$’ten iki eleman $\{2,3,4\}$ arasından $\binom{3}{2}=3$ yolla, kalan iki eleman ise $\{6,7,8,9\}$ arasından $\binom{4}{2}=6$ yolla seçilerek $3\cdot6=18$ küme elde edilir. Bu iki durumun toplamından $12+18=30$ bulunur. Öğrenciler en sık $1\notin A$ iken 5’in de elendiğini gözden kaçırıp 5’i ikinci aşamadaki seçim havuzuna dahil ederek hatalı sayım yapmaktadır.

Kısaca — İstenen koşulları sağlayan 80 farklı sıralı $(A,B)$ ikilisi bulunur.

$U=\{1,2,\ldots,8\}$ kümesinden toplamı 9 olan iki elemanlı kesişim kümesi $\{1,8\}$, $\{2,7\}$, $\{3,6\}$ veya $\{4,5\}$ olmak üzere 4 farklı biçimde seçilebilir. $A\cup B=U$ olduğundan dışarıda eleman kalmaz; $s(A)=5$ ve $s(A\cap B)=2$ olduğundan yalnız $A$’ya 3 eleman, yalnız $B$’ye ise kalan 3 eleman düşer. Kesişim belirlendikten sonra geriye kalan 6 elemandan 3’ü yalnız $A$ için $\binom{6}{3}=20$ farklı yolla seçilir ve kalanlar zorunlu olarak yalnız $B$’ye gider. Buradan toplam $4\cdot20=80$ sıralı ikili elde edilir; kümelerin sırasız ikili olduğunu varsayıp ikiye bölerek 40 değerine ulaşmak en belirgin tuzaktır.

Kısaca — Kulüplerden yalnız birine katılan öğrenci sayısı 19’dur.

Herkes en az bir kulüpte olduğundan $s(M\cup F\cup K)=40$’tır. Dahil etme-dışlama ilkesiyle $40 = (26+23+19) - (14+11+10) + s(M\cap F\cap K)$ yazılarak $40 = 33 + s(M\cap F\cap K)$ ve buradan üç kulübe de katılanların sayısı $s(M\cap F\cap K)=7$ bulunur. Buradan yalnızca iki kulübe katılanlar $(14-7)+(11-7)+(10-7)=7+4+3=14$ kişidir. Dolayısıyla en az iki kulübe katılanların toplam sayısı $14+7=21$ olur ve yalnız bir kulübe katılanlar $40-21=19$ olarak elde edilir. En yaygın hata, kesişim bölgelerini ayrık kabul edip üç kulübe birden katılan 7 kişiyi çıkarmadan işlem yaparak 21 veya 15 gibi sonuçlara sapmaktır.