Logaritma — AYT konu anlatımı ve örnek sorular

Logaritma, üslü ifadelerle logaritmik ifadeler arasındaki ilişkiyi, logaritmanın tanım koşullarını ve işlem kurallarını kapsar.

Öğrencinin üslü ve logaritmik gösterimler arasında geçiş yapabilmesi, verilen bağıntıları düzenleyebilmesi ve bulduğu sonuçların tanım koşullarına uygunluğunu denetleyebilmesi gerekir. AYT Matematik sorularında bu konu; dizilerde terimler arasındaki ilişkiler, zamana bağlı miktar değişimi ve üstel fonksiyonların grafiklerinden bilgi çıkarma gibi bağlamlarla bağlantılı olarak ele alınabilir.

Çoktan seçmeli sorularda seçenekler genellikle işlemler sonucunda elde edilebilecek sayısal değerler veya cebirsel ifadelerdir. Üs işaretini yanlış yorumlamak, logaritma kurallarını toplama işlemlerine hatalı uygulamak ve tanım koşullarını gözden kaçırmak sık yapılan hatalardır.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruKolay

Bir maddenin miktarı $N=N_0e^{-kt}$ bağıntısı ile değişmektedir. $N_0=80$ , $k=\ln2$ ve $t=4$ olduğuna göre $N$ kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: B — 5

Kısaca — Maddenin miktarı $N = 5$ olur.

Verilen $N_0 = 80$ , $k = \ln 2$ ve $t = 4$ değerlerini formülde yerine koyduğumuzda $N = 80\cdot e^{-4\ln 2}$ ifadesini elde ederiz. Üsteki $-4$ katsayısını içeri aldığımızda $e^{\ln(2^{-4})} = 2^{-4} = \dfrac{1}{16}$ olur. Buradan miktar $N = 80\cdot \dfrac{1}{16} = 5$ olarak hesaplanır. Üsteki negatif işareti gözden kaçırıp $2^4 = 16$ ile 80’i sadeleştirmek yerine orantı hatası yapanlar 10 veya 20 gibi çeldiricilere düşebilir.

2. soruKolay

$a > 1$ olmak üzere, $f(x)=a^{x}$ fonksiyonunun grafiği $P(2,16)$ noktasından geçmektedir.

g(x)=f(x)+f(-x)

olduğuna göre, $g(2)$ kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: C — $\dfrac{257}{16}$

Kısaca — Nokta denklemi sağladığından $a=4$ bulunur; $g(2) = f(2) + f(-2) = 16 + \dfrac{1}{16} = \dfrac{257}{16}$ elde edilir.

$P(2, 16)$ noktası grafiğin üzerinde olduğundan $f(2) = a^2 = 16$ yazılır; $a > 1$ şartından dolayı taban $a = 4$ olarak bulunur. Fonksiyonumuz $f(x) = 4^x$ olduğuna göre $g(2) = f(2) + f(-2)$ toplamını hesaplayalım. Burada $f(2) = 4^2 = 16$ ve $f(-2) = 4^{-2} = \dfrac{1}{16}$ olur. Payda eşitleyerek topladığımızda $16 + \dfrac{1}{16} = \dfrac{256 + 1}{16} = \dfrac{257}{16}$ sonucuna ulaşırız. Toplama yerine çıkarma yaparak $\dfrac{255}{16}$ bulmak veya $f(-2)$ terimini unutup yalnızca 16 işaretlemek dikkat edilmesi gereken çeldiricilerdir.

3. soruZor

$a,b,c>1$ olmak üzere $\log_a(bc)$ , $\log_b(ac)$ ve $\log_c(ab)$ sayıları bu sırayla aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu üç sayının toplamı 9’dur.

En büyük sayı ile en küçük sayı arasındaki farkın karesi kaçtır?

\dfrac{16}{3}

✗ Bu değil16✗ Bu değil

\dfrac{64}{3}

✓ Doğru

\dfrac{32}{3}

✗ Bu değil

\dfrac{64}{9}

✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: C — $\dfrac{64}{3}$

Bu sayılara $u,v,w$ denirse taban değiştirmeyle $\dfrac1{u+1}+\dfrac1{v+1}+\dfrac1{w+1}=1$ bulunur; paydalar eşitlenince $uvw=u+v+w+2=11$ elde edilir. Sayılar $3-d,3,3+d$ biçiminde yazıldığında $3(9-d^2)=11$ olduğundan istenen kare $4d^2=64/3$ olur.

Logaritma — AYT soruları

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Matematik