Temel Kavramlar — AYT soruları

Kısaca — Kareleri toplamı 100 olan ardışık pozitif çift sayılar 6 ve 8 olduğundan bu iki sayının toplamı 14’tür.

Küçük sayıya $x$ dersek ardışığı $x+2$ olur ve soruda verilen bilgiden $x^2 + (x+2)^2 = 100$ eşitliğini kurarız. Parantezi açıp ifadeyi düzenlediğinde $2x^2 + 4x + 4 = 100 \Rightarrow x^2 + 2x - 48 = 0$ denklemini elde edersin. Bu denklemi $(x+8)(x-6) = 0$ biçiminde çarpanlarına ayırdığımızda, sayılar pozitif dendiği için $x = 6$ ve büyük sayı 8 bulunur. Sayıların toplamı $6 + 8 = 14$ olur; $\sqrt{100} = 10$ diyerek kareler toplamını toplamın karesiyle karıştıranlar doğrudan 10 çeldiricisine düşebilir.

Kısaca — Basamak çözümlemesiyle elde edilen $a+b=11$ ve $a-b=3$ denklemleri çözüldüğünde $a=7, b=4$ ve $\overline{ab}=74$ bulunur.

İki basamaklı sayıları çözümlersek $\overline{ab} = 10a+b$ ve $\overline{ba} = 10b+a$ olur. Bu sayıların toplamı $\overline{ab}+\overline{ba} = 11(a+b) = 121$ olduğundan $a+b=11$ çıkar; farkları ise $a>b$ için $\overline{ab}-\overline{ba} = 9(a-b) = 27$ olduğundan $a-b=3$ verir. Elde edilen iki denklemi taraf tarafa topladığımızda $2a = 14 \implies a=7$ ve $b=4$ bulunur. Soru kökünde $a>b$ şartıyla $\overline{ab}$ sayısı istendiğinden doğru değer 74’tür; rakamların sırasını karıştırıp tersi olan 47 sayısına yönelmek en belirgin çeldiricidir.

$(-1)^{abc} = -1$ olması için $abc$ tek, dolayısıyla $a$, $b$, $c$’nin üçü de tek olmalıdır. Toplamları 15 olan birbirinden farklı pozitif tek sayı üçlüleri $(1, 3, 11)$, $(1, 5, 9)$ ve $(3, 5, 7)$ olup 3 tanedir.