Türevin Uygulamaları — AYT soruları

Kısaca — İki yerel ekstremum değerinin çarpımı 320’dir.

Fonksiyonun türevini alıp çarpanlarına ayıralım: $f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 1) = 3[(x - a)^2 - 1] = 3(x - a - 1)(x - a + 1)$. Türevi sıfırlayan apsisler yerel maksimum için $x_1 = a - 1$ ve yerel minimum için $x_2 = a + 1$’dir. Bu noktaları $f(x)$’te yerine yazdığımızda değerler $f(a - 1) = a^3 - 3a + 2$ ve $f(a + 1) = a^3 - 3a - 2$ olur. Bu iki ekstremum değerinin toplamı $2(a^3 - 3a) = 36 \implies a^3 - 3a = 18$ verir ve $a>1$ için bu eşitliği sağlayan değer $a = 3$’tür. Buradan yerel maksimum değeri 20, yerel minimum değeri 16 bulunur; çarpımları ise $20 \cdot 16 = 320$ yapar.

Kısaca — Parabol içine çizilen dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer $20\sqrt5$ birimkaredir.

Dikdörtgen $y$ eksenine göre simetrik olduğundan, sağ üst köşesinin koordinatlarını $(x, 15 - x^2)$ ($x>0$) olarak belirlersek taban uzunluğu $2x$, yüksekliği ise $15 - x^2$ olur. Buradan alan fonksiyonu $A(x) = 2x(15 - x^2) = 30x - 2x^3$ biçiminde yazılır. Alanın en büyük değerini bulmak için türev alıp sıfıra eşitleriz: $A'(x) = 30 - 6x^2 = 0 \implies 6x^2 = 30 \implies x^2 = 5 \implies x = \sqrt5$. Bulduğumuz $x = \sqrt5$ değerini alan fonksiyonunda yerine yazdığımızda maksimum alan $A(\sqrt5) = 2\sqrt5(15 - 5) = 2\sqrt5 \cdot 10 = 20\sqrt5$ olarak elde edilir.

Kısaca — Hacmin azalma hızının 12 L/dk olduğu anda tankta 163 litre su vardır.

Azalma hızı, hacmin zamana göre türevinin negatif olduğu durumdaki büyüklüğü ifade ettiğinden $V'(t)=-12$ eşitliğini kurmalıyız. $V(t)=100+30t-3t^{2}$ fonksiyonunun türevi $V'(t)=30-6t$ olup $30-6t=-12$ denkleminden $6t=42$, yani $t=7$ dakika bulunur. Bu zamanı hacim fonksiyonunda yerine koyduğumuzda $V(7)=100+30(7)-3(7)^{2}=100+210-147=163$ litre elde ederiz. Parabolün simetri ekseni $t=5$ olduğundan, artış hızı olarak $V'(t)=12$ ($t=3$) çözülse bile aynı 163 değerine ulaşılır; ancak denklem kurarken işlem hatası yapmak 172 veya 181 gibi hatalı hacimlere yol açar.