Binom — AYT soruları

Kısaca — $x^6$ lı terimin katsayısının sabit terimin katsayısına oranı $\dfrac{7}{15}$ olur.

Açılımın genel terimi $\binom{12}{k}(x^2)^{12-k}\left(\dfrac{a}{x}\right)^k = \binom{12}{k}a^k x^{24-3k}$ olarak yazılır. Sabit terim için $24-3k=0 \implies k=8$, $x^3$ lü terim içinse $24-3k=3 \implies k=7$ bulunur. Sabit terimin katsayısı $x^3$ lü terimin $\dfrac{5}{4}$ katı olduğundan $\binom{12}{8}a^8 = \dfrac{5}{4}\binom{12}{7}a^7$ eşitliği yazılır; $\binom{12}{8}=495$ ve $\binom{12}{7}=792$ sadeleştirildiğinde $\dfrac{5}{8}a = \dfrac{5}{4}$ ve buradan $a=2$ bulunur. $x^6$ lı terim için $24-3k=6 \implies k=6$ olduğundan istenen oran $\dfrac{\binom{12}{6}\cdot 2^6}{\binom{12}{8}\cdot 2^8} = \dfrac{924}{495 \cdot 4} = \dfrac{7}{15}$ olarak elde edilir.

Kısaca — İstenen $\dfrac{a_5}{a_3}$ oranı $\dfrac{14}{5}$ olarak bulunur.

$(1+x)^n$ açılımında $x^k$ lı terimin katsayısı $a_k = \binom{n}{k}$ olur. Verilen $a_4 = 6a_2$ eşitliği $\binom{n}{4} = 6\binom{n}{2}$ anlamına gelir ve faktöriyel açılımından $\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} = 6 \cdot \dfrac{n(n-1)}{2}$ denklemini verir. Gerekli sadeleştirmeleri yaptığımızda $(n-2)(n-3) = 72 = 9 \cdot 8$ eşitliğinden $n=11$ bulunur. Buradan aradığımız oran $\dfrac{a_5}{a_3} = \dfrac{\binom{11}{5}}{\binom{11}{3}} = \dfrac{11! / (5! \cdot 6!)}{11! / (3! \cdot 8!)} = \dfrac{8 \cdot 7}{5 \cdot 4} = \dfrac{14}{5}$ olarak hesaplanır.

Kısaca — Açılımdaki $x^7$ li terimin katsayısı 132 olarak bulunur.

$(1+x)^n$ açılımında $x^2$ ve $x^3$ lü terimlerin katsayıları toplamı $\binom{n}{2} + \binom{n}{3}$’tür ve Pascal özdeşliği gereğince bu toplam $\binom{n+1}{3}$ değerine eşittir. $\dfrac{(n+1)n(n-1)}{6} = 220$ eşitliğinden $(n+1)n(n-1) = 1320 = 12 \cdot 11 \cdot 10$ yazılarak $n = 11$ elde edilir. $(1-x)^{11}(1+x) = (1-x)^{11} + x(1-x)^{11}$ ifadesinde $x^7$ li terim, birinci parçanın $x^7$ li terimi ile ikinci parçanın $x^6$ lı teriminin çarpımından meydana gelir. Bu terimlerin katsayıları sırasıyla $(-1)^7\binom{11}{7} = -330$ ve $(-1)^6\binom{11}{6} = 462$ olduğundan toplam katsayı $462 - 330 = 132$ çıkar.