Modüler Aritmetik — AYT soruları

Kısaca — $7^{222}+11^{111}$ sayısının 13 ile bölümünden kalan 4’tür.

13 asal sayı olduğundan Fermat’nın Küçük Teoremi uyarınca 13 ile aralarında asal olan sayılar için $a^{12} \equiv 1 \pmod{13}$ sağlanır; bu sayede üsleri mod 12'de indirgeyebilirsin. İlk terim için $222 = 12 \cdot 18 + 6$ olduğundan $7^{222} \equiv 7^6 \pmod{13}$ elde edilir; $7^2 = 49 \equiv -3$ eşitliğinden faydalanırsak $7^6 \equiv (-3)^3 = -27 \equiv -1 \equiv 12 \pmod{13}$ bulunur. İkinci terimde $11 \equiv -2 \pmod{13}$ alıp üssü indirgediğimizde $111 = 12 \cdot 9 + 3$ olduğundan $11^{111} \equiv (-2)^3 = -8 \equiv 5 \pmod{13}$ gelir. İki kalanı topladığımızda $12 + 5 = 17$ ve $17 \equiv 4 \pmod{13}$ sonucuna ulaşılır. Negatif kalanları düzenlerken işaret hatası yapmak ya da üsleri 12 yerine doğrudan 13'e bölmek yanlış seçeneklere götürür.

Kısaca — Koşulları sağlayan 100'den büyük en küçük $n$ doğal sayısı 107’dir.

2’nin 7 ile bölümünden kalanları incelendiğinde $2^1 \equiv 2$, $2^2 \equiv 4$ ve $2^3 \equiv 1 \pmod 7$ olduğundan kuvvetler 3 adımda bir tekrarlar; bu nedenle $2^n \equiv 4 \pmod 7$ denkliği $n \equiv 2 \pmod 3$ olmasını gerektirir. Benzer şekilde 3’ün 5 ile bölümünden kalanları $3^1 \equiv 3$, $3^2 \equiv 4$, $3^3 \equiv 2$ ve $3^4 \equiv 1 \pmod 5$ olup periyot 4’tür; dolayısıyla $3^n \equiv 2 \pmod 5$ için $n \equiv 3 \pmod 4$ olmalıdır. Her iki koşul da $n \equiv -1$ kalanına karşılık geldiğinden bu iki denklik $n \equiv 11 \pmod{12}$ olarak birleştirilir. $n > 100$ şartını sağlayan en küçük değer $k=8$ için $n = 12 \cdot 8 + 11 = 107$ olarak bulunur.

Kısaca — Her denklik sınıfından en az bir eleman içeren 324 farklı $K$ kümesi vardır.

Tanımlanan bağıntı mod 4’e göre denklik bağıntısıdır ve $S$ kümesini her biri üçer elemandan oluşan $[0]=\{4,8,12\}$, $[1]=\{1,5,9\}$, $[2]=\{2,6,10\}$ ve $[3]=\{3,7,11\}$ olmak üzere dört sınıfa ayırır. Beş elemanlı $K$ kümesinin bu dört sınıfın her birinden en az bir eleman içermesi için güvercin yuvası ilkesi gereğince bir sınıftan 2, kalan üç sınıftan ise 1’er eleman seçilmelidir ($2+1+1+1=5$). İki eleman alınacak denklik sınıfı $\binom{4}{1}=4$ yolla, o sınıftan iki eleman $\binom{3}{2}=3$ yolla ve diğer üç sınıfın her birinden birer eleman $3^3=27$ yolla seçilir. Çarpım kuralıyla $4\cdot3\cdot27=324$ sonucuna ulaşılır. İki eleman seçilecek sınıfı belirlemeyi unutan öğrenciler 4 katsayısını atlayarak 81 veya yanlış dağılımla 243 çeldiricisine yönelebilmektedir.