Karmaşık Sayılar — AYT soruları

Kısaca — $z\cdot\bar{z}$ ifadesinin sonucu her zaman negatif olmayan bir gerçek sayıdır.

$z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$) karmaşık sayısının eşleniği $\bar{z} = a - bi$ olup çarpımları $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$ biçimindedir. Gerçel sayıların kareleri daima sıfır veya pozitif ($a^2 \ge 0$, $b^2 \ge 0$) olduğundan toplamları da daima negatif olmayan bir gerçel sayıdır ($a^2 + b^2 \ge 0$). Eğer $z = 0$ ise sonuç 0 olur; $z \neq 0$ olduğunda ise sonuç daima pozitif bir gerçel sayıdır; dolayısıyla genel durumda sonuç her zaman negatif olmayan gerçel sayıdır. Sanal kısımların birbirini götürdüğünü gözden kaçırıp sonucun sanal olduğunu düşünmek veya $z=0$ durumunu unutarak sonucun kesinlikle pozitif olduğunu varsaymak yanıltıcı olabilir.

Kısaca — İşlemin sonucu $4+2i$’dir.

Paydaki çarpımı hesaplamak için önce $(3-i)(2-2i) = 6 - 6i - 2i + 2i^2 = 6 - 8i - 2 = 4 - 8i$ bulunur. Bu ifadeyi baştaki $i$ ile çarptığımızda $i(4-8i) = 4i - 8i^2 = 4i + 8 = 8 + 4i$ pay değerine ulaşılır. Paydada eşlenik iki sayının çarpımından $(1-i)(1+i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$ gelir. Bulduğumuz payı paydaya böldüğümüzde $\dfrac{8+4i}{2} = 4 + 2i$ elde edilir; paydadaki 2’ye bölmeyi unutmak seni doğrudan $8+4i$ çeldiricisine götürür.

Kısaca — $i^{35}$ ifadesinin değeri $-i$’dir.

Sanal birim $i$’nin pozitif tam sayı kuvvetleri 4 adımda bir periyodik olarak tekrarlanır: $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$ ve $i^4 = 1$’dir. Bu nedenle verilen üssün 4’e bölümünden kalan incelenir; 35 sayısı 4’e bölündüğünde $35 = 4 \cdot 8 + 3$ olup kalan 3’tür. Buradan $i^{35} = (i^4)^8 \cdot i^3 = 1^8 \cdot i^3 = i^3 = -i$ sonucuna ulaşılır. Kalanı 1 veya 2 sanmak ya da $i^3$’ün değerini $-1$ ile karıştırmak sık yapılan hatalardandır.