İntegralin Uygulamaları (Alan Hesabı) — AYT soruları

Kısaca — $[0,1]$ aralığında $y=x$ doğrusu $y=x^2$ parabolünün üstünde kaldığından aradaki alan $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx = \dfrac{1}{6}$ birimkaredir.

Öncelikle eğrilerin kesiştiği $x$ değerlerini bulmak için denklemleri eşitleyelim: $x^2 = x \implies x(x-1) = 0$; kesim noktaları $x = 0$ ve $x = 1$’dir. Verilen $0 \leq x \leq 1$ aralığında (örneğin $x = \dfrac{1}{2}$ için $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{4}$ olduğundan) $y = x$ doğrusu $y = x^2$ parabolünün üzerinde kalır. İki eğri arasında kalan alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak hesaplanır: $\displaystyle\text{Alan} = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[ \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) - 0 = \dfrac{1}{6}$ birimkare bulunur. Eğrilerin sırasını karıştıranlar negatif işaretli veya hatalı sonuçlara düşebilir.

Kısaca — Parabolün ekseni kestiği noktalara göre ayrılan üç bölgenin alanları toplanarak 4 birimkare elde edilir.

$f(x) = x^2 - 4x + 3 = 0$ denklemini çarpanlarına ayırırsak $(x-1)(x-3) = 0$ olup kökler $x = 1$ ve $x = 3$’tür. Eğri $[0,1]$ aralığında $x$ ekseninin üstünde, $[1,3]$ aralığında altında ve $[3,4]$ aralığında tekrar üstündedir. Alan negatif olamayacağından bu üç aralığı ayrı ayrı hesaplamalıyız: $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$ olmak üzere $[0,1]$ için $F(1)-F(0) = \dfrac{4}{3}$, $[1,3]$ için $|F(3)-F(1)| = \left|0 - \dfrac{4}{3}\right| = \dfrac{4}{3}$ ve $[3,4]$ için $F(4)-F(3) = \dfrac{4}{3} - 0 = \dfrac{4}{3}$ birimkare gelir. Bu üç alanın toplamı $\dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = 4$ birimkaredir. Eğriyi parçalamadan doğrudan 0’dan 4’e integral alanlar zıt işaretler birbirini götürdüğü için hatalı sonuca ulaşır.

Kısaca — Parabol ile doğru arasında kalan sınırlı bölgenin alanı $\dfrac{9}{2}$ birimkaredir.

İlk olarak eğrilerin kesişim noktalarını belirlemek için denklemleri ortak çözelim: $x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$ denkleminden sınırları $x = -1$ ve $x = 2$ olarak buluruz. $[-1, 2]$ aralığında doğru parabolün üzerinde yer aldığından alan integrali $\int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\,dx$ şeklinde kurulur. Belirli integrali aldığımızda $\left[ \dfrac{x^2}{2} + 2x - \dfrac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$ ifadesinde sınırları yerine yazarsak $\dfrac{10}{3} - \left(-\dfrac{7}{6}\right) = \dfrac{9}{2}$ sonucuna ulaşırız. Alt sınır olan $-1$’i yerine koyarken eksi işaretlerinin dağılımına dikkat etmezseniz işlem hatasıyla yanlış değerlere sürüklenebilirsiniz.