Bölme ve Bölünebilme — AYT soruları

Kısaca — 6 ile tam bölünebilmesi için sayının çift olması gerekir; rakamları toplamı 9 olan en küçük iki basamaklı çift sayı 18’dir.

Bir sayının 6 ile tam bölünebilmesi için hem 2 hem de 3 ile kalansız bölünmesi şarttır. Sayının rakamları toplamı 9 olduğundan 3 ile bölünme kuralını kendiliğinden sağlar; bu yüzden aradığımız sayının yalnızca çift (2 ile bölünen) olması yeterlidir. Rakamları toplamı 9 olan iki basamaklı sayıları küçükten büyüğe sıraladığımızda $18, 27, 36, 45, \dots$ dizisini elde ederiz. Bu dizideki ilk ve en küçük sayı olan 18 çift olduğundan 6’ya tam bölünür. Çift olma koşulunu atlayıp rakamları toplamı 9 olan tek sayıları göz önüne alanlar veya 36 gibi daha büyük bir katı ilk akla getirenler çeldiricilere yönelebilir.

Kısaca — Koşulları sağlayan sayıya 3 eklendiğinde hem 8’e hem 6’ya tam bölündüğünden, aranan en küçük üç basamaklı sayı 117 olur.

Aradığımız sayıya $A$ diyelim; verilenlere göre $A = 8x + 5 = 6y + 3$ eşitlikleri yazılabilir. Dikkat edersek her iki bölme işleminde de bölenden kalan çıkarıldığında fark sabittir ($8-5=3$ ve $6-3=3$). Eşitliğin her tarafına 3 eklediğimizde $A + 3 = 8(x+1) = 6(y+1)$ olur; yani $A+3$ sayısı hem 8’in hem de 6’nın ortak katıdır. $\text{EKOK}(8, 6) = 24$ olduğundan $A+3$ sayısı 24’ün katı olmalıdır. En küçük üç basamaklı $A$ sayısını bulmak için 24’ün katlarını incelersek $24\cdot 5 = 120$ değerinden $A + 3 = 120 \implies A = 117$ bulunur.

Kısaca — Bölünebilme kuralları ve $A>B$ şartı birlikte değerlendirildiğinde $A=8$ ve $B=6$ olup $A+B = 14$ bulunur.

$4AB$ sayısının 9 ile tam bölünmesi için rakamları toplamı 9’un katı olmalıdır: $4 + A + B = 9k$. $A$ ve $B$ sıfırdan farklı rakamlar olduğundan $A+B = 5$ veya $A+B = 14$ olabilir. İkinci koşulda $AB4$ sayısının 8 ile tam bölünmesi gerekir. $A>B$ koşuluyla $A+B=5$ için $(4,1)$ ve $(3,2)$ ikilileri denenir; 414 ve 324 sayıları 8’e tam bölünmez. $A+B=14$ için $A>B$ koşulunu sağlayan $(9,5)$ ve $(8,6)$ ikililerinden 954 sayısı 8’e bölünmezken 864 tam bölünür ($864 = 8\cdot 108$). Buradan $A=8, B=6$ bulunur ve toplamları 14 olur.