Analitik Geometri (Doğrunun Analitiği) — AYT soruları

Kısaca — $P$ noktasının doğruya olan uzaklığı $\dfrac{22}{5}$ birimdir.

Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulmak için $d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ bağıntısını kullanırız. Noktanın koordinatlarını doğrudan yerine yazdığında pay kısmı $|4(3) - 3(-1) + 7| = |12 + 3 + 7| = 22$ olur. Paydada ise katsayıların kareleri toplamının karekökünden $\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5$ elde edilir. Buradan uzaklık $\dfrac{22}{5}$ birim olarak bulunur. $-3(-1)$ çarpımında işaret hatası yapıp $+3$ yerine $-3$ almak payı 16 yaparak en çekici çeldirici olan $\dfrac{16}{5}$ sonucuna yönlendirebilir.

Kısaca — $P$ noktasının doğruya uzaklığı $\sqrt{2}$ birimdir.

Öncelikle kesişim noktası $P$’yi belirlemek için ilk denklemden $y = 4 - 2x$ ifadesini ikinci denklemde yerine yazalım: $x - 2(4 - 2x) + 3 = 0$ işleminden $5x - 5 = 0$ ve $x = 1$ bulunur; buradan $y = 4 - 2(1) = 2$ olup kesişim noktası $P(1,2)$’dir. Ardından $P(1,2)$ noktasının $x + y - 1 = 0$ doğrusuna uzaklığını formülden hesaplarız: $d = \dfrac{|1(1) + 1(2) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}}$ elde edilir. Kesrin pay ve paydasını $\sqrt{2}$ ile çarparak rasyonel yaptığında aradığın uzaklık $\sqrt{2}$ olarak bulunur.

Kısaca — Aranan doğrunun denklemi $2x+4y-13=0$’dır.

Kesişim noktasını bulmak için $x + y - 5 = 0$ denkleminden $x - 3y + 1 = 0$ denklemini taraf tarafa çıkardığında $4y - 6 = 0$ eşitliğinden $y = \dfrac{3}{2}$ ve buradan $x = \dfrac{7}{2}$ elde edersin. $2x - y + 3 = 0$ doğrusunun eğimi 2 olduğundan, dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ kuralı gereğince aradığımız doğrunun eğimi $m = -\dfrac{1}{2}$ olmalıdır. Noktası $\left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$ ve eğimi $-\dfrac{1}{2}$ olan doğrunun denklemini $y - \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{7}{2}\right)$ olarak kurabilirsin. Bu denklemi 4 ile genişleterek düzenlediğinde $4y - 6 = -2x + 7$ olur ve tüm terimleri bir araya topladığında $2x + 4y - 13 = 0$ sonucuna ulaşırsın.