Trigonometrik Denklemler — AYT soruları

Kısaca — Mutlak değerli denklem çözüldüğünde $|\sin x| = \dfrac{1}{2}$ elde edilir ve $[0, 2\pi)$ aralığında 4 farklı kök bulunur.

Yarım açı formülüyle $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x = 1 - 2|\sin x|^2$ yazabiliriz. $u = |\sin x|$ dönüşümü yapıldığında denklem $2u^2 + u - 1 = 0$ hâline gelir ve $(2u - 1)(u + 1) = 0$ olarak çarpanlarına ayrılır. $u = |\sin x| \ge 0$ olması gerektiğinden $u = -1$ kökü elenir ve geriye yalnızca $u = |\sin x| = \dfrac{1}{2}$ kalır. Bu da $\sin x = \dfrac{1}{2}$ veya $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ demektir; $[0, 2\pi)$ aralığındaki dört bölgenin her birinden birer tane olmak üzere $x \in \left\{\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}\right\}$ olmak üzere toplam 4 farklı çözüm gelir. Mutlak değeri dikkate almayıp denklemi doğrudan $\sin x = \cos(2x)$ diye çözmek, öğrenciyi yalnızca 3 çözüme ulaştırarak yanıltır.

Kısaca — Denklem $\sin(2x) = \dfrac{1}{2}$ biçimine getirildiğinde simetriden dolayı $\cos^2x$ değerlerinin toplamı 2 bulunur.

$\tan x + \cot x = \dfrac{\sin x}{\cos x} + \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{1}{\sin x \cos x} = \dfrac{2}{\sin(2x)}$ özdeşliği kullanılır. $\dfrac{2}{\sin(2x)} = 4$ eşitliğinden $\sin(2x) = \dfrac{1}{2}$ elde edilir; $x \in (0, 2\pi)$ aralığında $2x \in (0, 4\pi)$ olduğundan $2x$ değerleri $\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{13\pi}{6}, \dfrac{17\pi}{6}$ olur. $\cos^2x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}$ yarım açı formülü uygulandığında istenen toplam $\sum_{k=1}^4 \cos^2x_k = \dfrac{4 + \sum \cos(2x_k)}{2}$ hâline gelir. Açıların kosinüsleri $\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ olup birbirini sıfırladığından ($\sum \cos(2x_k) = 0$), toplam $\dfrac{4 + 0}{2} = 2$ çıkar. Yalnızca $(0, \pi)$ aralığındaki ilk iki kökü hesaba katmak toplamı yarıya düşürerek 1 cevabına götüren en belirgin çeldiricidir.

Kısaca — İfadenin değeri $\dfrac{24}{25}$ olarak bulunur.

$\alpha = \arccos\dfrac{3}{5}$ dönüşümü yaptığında $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$ olur ve 3-4-5 dik üçgeninden $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$ elde edilir. Soru senden $\sin(2\alpha)$ değerini istediği için sinüs yarım açı formülünü açmalısın: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{24}{25}$. Formüldeki 2 katsayısını unutmak seni $\dfrac{12}{25}$ çeldiricisine, sinüs yerine kosinüsün iki kat açı formülünü uygulamak ise $\dfrac{7}{25}$ çeldiricisine götürür.