Denklem Sistemleri — AYT soruları

Kısaca — Deniz $A$ türünden 6, $B$ türünden 5 soru bilmiştir ve bu sayıların çarpımı 30’dur.

Deniz’in $A$ türünden doğru sayısı $a$, $B$ türünden doğru sayısı $b$ olsun; toplam soru sayısından $a+b=11$ ve toplam puandan $4a+7b=59$ denklemleri kurulur. İlk denklemi $-4$ ile çarpıp ikinci denklemle topladığında $3b=15 \implies b=5$ bulunur. Toplam 11 soru olduğundan $a = 11 - 5 = 6$ elde edilir. Sorulan değer bu sayıların çarpımı olduğundan $6\cdot 5 = 30$ bulunur.

$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ eşitliğinden $xy=6$ bulunur. $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=125-90=35$’tir.

Kısaca — İki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin hiçbir çözümünün olmaması için katsayılar oranı eşit, sabit terimler oranı farklı olmalıdır; $a$’nın alabileceği değerlerin çarpımı $-2$ olur.

Sistemin gerçek sayılarda çözümünün bulunmaması, denklemlerin belirttiği doğruların birbirine paralel olması anlamına gelir; dolayısıyla $\dfrac{a}{2} = \dfrac{1}{a-1} \neq \dfrac{3}{4}$ şartı sağlanmalıdır. Eşitliğin sol tarafında içler dışlar çarpımı yaptığında $a(a-1) = 2 \implies a^2 - a - 2 = 0$ denklemi gelir ve çarpanlarına ayırdığında $a = 2$ veya $a = -1$ bulunur. Bulunan her iki değer de sabitlerin oranı olan $\dfrac{3}{4}$’ten farklı bir oran verdiğinden paralellik şartı sağlanır. Buradan $a$’nın alabileceği değerlerin çarpımı $2 \cdot (-1) = -2$ olarak elde edilir.