Mutlak Değer — AYT soruları

Kısaca — Denklemin gerçek sayı köklerinin çarpımı 8’dir.

Mutlak değerli bir ifadenin sonucu negatif olamayacağından denklemin çözümünde öncelikle $x + 1 \ge 0$, yani $x \ge -1$ şartı aranmalıdır. Mutlak değer tanımı gereği iki durum incelenir: $2x - 5 = x + 1$ eşitliğinden $x = 6$ ve $2x - 5 = -(x + 1)$ eşitliğinden $3x = 4 \implies x = \dfrac{4}{3}$ bulunur. Bulunan her iki kök de $x \ge -1$ şartını sağladığından geçerlidir. Bu köklerin çarpımı $6 \cdot \dfrac{4}{3} = 8$ olarak elde edilir.

Kısaca — Fonksiyonun en küçük değeri ile bu değeri aldığı en büyük $x$ değerinin toplamı 13’tür.

Fonksiyonun kritik noktaları $-3$, 1 ve 5’tir. Kritik noktaların ayırdığı aralıklar incelendiğinde; $x < -3$ için fonksiyon azalan, $x > 1$ için ise artandır. $-3 \le x \le 1$ aralığında mutlak değerler açıldığında $F(x) = 2(x + 3) - (x - 1) - (x - 5) = 2x + 6 - x + 1 - x + 5 = 12$ bulunur; yani fonksiyon bu aralıkta sabit olup en küçük değerini ($m = 12$) alır. Minimum değerin sağlandığı en büyük $x$ değeri aralığın sağ ucu olan $a = 1$’dir. Buradan $m + a = 12 + 1 = 13$ elde edilir.

Kısaca — Eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı 2’dir.

Kritik noktalar olan $-2$ ve 3 sayılarına göre ifadeyi incelemelisin: $x \ge 3$ olduğunda $(x + 2) - (x - 3) = 5 < 4$ çelişkisi doğar ve bu bölgeden çözüm gelmez. $-2 \le x < 3$ aralığında ise $(x + 2) - (3 - x) = 2x - 1 < 4$ eşitsizliğinden $x < \dfrac{5}{2}$ elde edilir. $x < -2$ için ifade sabit $-5 < 4$ olup tümüyle sağlandığından eşitsizliğin tam çözüm aralığı $x < \dfrac{5}{2}$ olur; 2,5’ten küçük en büyük tam sayı da 2’dir.