Trigonometri — AYT konu anlatımı ve örnek sorular

Trigonometri, açıların trigonometrik oranlarını, birim çember üzerindeki karşılıklarını ve bu oranlar arasındaki bağıntıları kapsar.

Öğrencinin açıların bulunduğu bölgeyi dikkate alarak işaret belirleyebilmesi, simetriyi yorumlayabilmesi, trigonometrik özdeşlikleri kullanabilmesi ve ifadeleri karşılaştırabilmesi gerekir. AYT Matematik sorularında bu konu, birim çemberle ilişkilendirilen geometrik şekiller, açıya bağlı fonksiyon değerleri veya trigonometrik ifadelerin sıralanması üzerinden sorulabilir.

Verilen açı aralığını gözden kaçırmak, koordinatlarla trigonometrik oranları karıştırmak ve açı dönüşümlerinde işaret hatası yapmak yanlış sonuca götürebilir. Çoktan seçmeli sorularda seçenekler, istenen sonuca göre sayısal değerler, trigonometrik ifadeler ya da farklı sıralamalar biçiminde sunulabilir.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruZor

$45^\circ<\alpha<90^\circ$ olmak üzere $f(x)=\sin(x+\alpha)+\cos(x-\alpha)$ fonksiyonu tanımlanıyor.

$f(0^\circ)=\dfrac{\sqrt6}{2}$ olduğuna göre $f(2\alpha)$ kaçtır?

\dfrac{\sqrt6-3\sqrt2}{4}

✓ Doğru

\dfrac{1-\sqrt3}{2}

✗ Bu değil

\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}{4}

✗ Bu değil

\dfrac{\sqrt6+3\sqrt2}{4}

✗ Bu değil

\dfrac{\sqrt6-3\sqrt2}{2}

✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: A — $\dfrac{\sqrt6-3\sqrt2}{4}$

Toplam-fark formülleriyle $f(x)=(\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin x+\cos x)$ yazılır; verilen değerin karesinden $\sin(2\alpha)=1/2$ , açı aralığından da $\cos(2\alpha)=-\sqrt3/2$ bulunur. Dolayısıyla $f(2\alpha)=(\sqrt6/2)(1/2-\sqrt3/2)=(\sqrt6-3\sqrt2)/4$ olur.

2. soruZor

$O=(0,0)$ merkezli birim çemberin birinci bölgesindeki $P$ ve $Q$ noktaları, $y=x$ doğrusuna göre simetriktir. Birinin karşılıklı köşeleri $O$ ve $P$ , diğerinin karşılıklı köşeleri $O$ ve $Q$ olan, kenarları koordinat eksenlerine paralel iki dikdörtgen çiziliyor. $OP$ ışınının pozitif $x$ ekseniyle yaptığı açı $\alpha$ ve $0<\alpha<45^\circ$ ’dir.

En az bir dikdörtgenin içinde kalan bölgenin alanının, yalnızca bir dikdörtgenin içinde kalan bölgenin alanına oranı aşağıdakilerden hangisidir?

\dfrac{\cot\alpha}{\cot\alpha-1}

✗ Bu değil

\dfrac{2\cot\alpha-1}{\cot\alpha-1}

✗ Bu değil

\dfrac{2\cot\alpha-2}{2\cot\alpha-1}

✗ Bu değil

\dfrac{2\cot\alpha+1}{2\cot\alpha-2}

✗ Bu değil

\dfrac{2\cot\alpha-1}{2\cot\alpha-2}

✓ Doğru

Cevabı göster

Cevap: E — $\dfrac{2\cot\alpha-1}{2\cot\alpha-2}$

$c=\cos\alpha>s=\sin\alpha$ alınırsa $P=(c,s)$ ve $Q=(s,c)$ olur. Dikdörtgenlerin her birinin alanı $cs$ , ortak bölgenin alanı $s^2$ ’dir. Birleşimin alanı $2cs-s^2$ , yalnızca bir dikdörtgende kalan bölgenin alanı $2cs-2s^2$ olduğundan oran $(2cs-s^2)/(2cs-2s^2)=(2\cot\alpha-1)/(2\cot\alpha-2)$ bulunur.

3. soruOrta

$\beta\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ için

\tan(\pi-\beta)+\cot(\pi-\beta)=\dfrac{10}{3}

\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\beta\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\beta\right)>0

koşulları sağlanıyor.

$x=4\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\beta\right)$ , $y=\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\beta\right)$ ve $z=3\cot(\pi-\beta)$

olarak tanımlanıyor.

Bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı göster

Cevap: B — $y<z<x$

$r=\tan(\pi-\beta)>0$ için $r+1/r=10/3$ eşitliğinden $r=3$ veya $r=1/3$ bulunur. İkinci koşul $\sin\beta+\cos\beta>0$ verir. İkinci bölgede bu, $\sin\beta>-\cos\beta$ ve dolayısıyla $r>1$ demektir; böylece $r=3$ seçilir. Temel özdeşlikle $\sin\beta=3/\sqrt{10}$ ve $\cos\beta=-1/\sqrt{10}$ bulunur. İndirgemelerden $x=-4\cos\beta=4/\sqrt{10}$ , $y=\sin\beta=3/\sqrt{10}$ ve $z=3/r=1$ elde edilir. $3<\sqrt{10}<4$ olduğundan $y<z<x$ olur.

Trigonometri — AYT soruları

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Matematik