Koşullu Olasılık ve Bağımsız Olaylar — AYT konu anlatımı ve örnek sorular

Koşullu Olasılık ve Bağımsız Olaylar, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde başka bir olayın olasılığını hesaplamayı ve olayların birbirinin olasılığını etkileyip etkilemediğini incelemeyi kapsar.

Öğrencinin verilen koşula göre örnek uzayı daraltabilmesi, ortak gerçekleşme olasılığını kullanabilmesi ve bağımsızlık ilişkisini kurabilmesi gerekir. AYT Matematik sorularında kutu seçimi ve bilye çekimi gibi aşamalı deneyler, kitapların özelliklerine göre sınıflandırılması veya tekrarlanan çekilişlerde deneysel olasılığın değişimi kullanılabilir.

Seçenekler hesaplanan olasılıkları ya da istenen nesne sayısını sunar. Koşulun yönünü ters okumak, kutuların seçilme olasılıklarını eşit kabul etmek ve bağımsız olayları ayrık olaylarla karıştırmak sık yapılan hatalardır.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruKolay

Bir kitaplıktaki 48 kitaptan 9 tanesi tarih ve resimli, 7 tanesi ise tarih ve resimsizdir. Bu kitaplıktan rastgele seçilen bir kitabın tarih kitabı olması ile rastgele seçilen bir kitabın resimli olması bağımsız olaylardır.

Buna göre kitaplıktaki kitaplardan kaç tanesi tarih olmayan ve resimli bir kitaptır?

Cevabı göster

Cevap: E — 18

Tarih kitabı sayısı $9+7=16$ ’dır. Bağımsızlık $\dfrac{9}{48}=\dfrac{16}{48}\cdot\dfrac{r}{48}$ verir; buradan resimli kitap sayısı $r=27$ bulunur. Tarih olmayan resimli kitap sayısı $27-9=18$ ’dir.

2. soruOrta

Adil bir zar atılıyor. Sonuç 1,2,3 veya 4 ise K kutusu; 5 veya 6 ise L kutusu seçiliyor. K kutusunda 3 kırmızı, 2 mavi; L kutusunda 1 kırmızı, 3 mavi bilye vardır. Seçilen kutudan rastgele bir bilye çekiliyor.

Çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre, K kutusunun seçilmiş olma olasılığı kaçtır?

\dfrac{12}{29}

✗ Bu değil

\dfrac{18}{29}

✗ Bu değil

\dfrac{24}{29}

✓ Doğru

\dfrac45

✗ Bu değil

\dfrac56

✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: C — $\dfrac{24}{29}$

Kısaca — Çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiğinde K kutusunun bu kırmızı bilyeler içindeki ağırlığı hesaplandığında koşullu olasılık $\dfrac{24}{29}$ bulunur.

Zarın 1, 2, 3 veya 4 gelmesiyle K kutusunun seçilme olasılığı $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ; 5 veya 6 gelmesiyle L kutusunun seçilme olasılığı $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ ’tür. K kutusundan kırmızı gelme olasılığı $\dfrac{3}{5}$ , L kutusundan kırmızı gelme olasılığı ise $\dfrac{1}{4}$ olduğuna göre kırmızı bilye çekilmesinin toplam olasılığı $\left(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5}\right) + \left(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{29}{60}$ olur. Bu toplam kırmızı olasılığı içinde K kutusunun payı $\dfrac{2/5}{29/60} = \dfrac{24}{29}$ olarak elde edilir.

3. soruKolay

Bir torbada yalnızca kırmızı ve beyaz bilyeler vardır. Torbadan rastgele bir bilye çekilip yerine konma deneyi birçok kez tekrarlanmıştır. İlk 200 çekişte kırmızı bilye çekmenin deneysel olasılığı $\dfrac{3}{8}$ olmuştur. Daha sonra $n$ çekiş daha yapılmış ve bu çekişlerin tamamında kırmızı bilye çekilmiştir. Tüm çekişler birlikte değerlendirildiğinde kırmızı bilye çekmenin deneysel olasılığı $\dfrac{1}{2}$ olmuştur.

Buna göre, $n$ kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: D — 50

Kısaca — Sonradan yapılan çekiş sayısı $n = 50$ ’dir.

İlk 200 çekişte kırmızı bilye gelme sayısı $200 \times \dfrac{3}{8} = 75$ ’tir. Yapılan ek $n$ çekişin tamamında kırmızı geldiğine göre toplam kırmızı bilye sayısı $75 + n$ , yapılan toplam çekiş sayısı ise $200 + n$ olur. Tüm çekişlerin deneysel olasılığı $\dfrac{1}{2}$ olduğundan $\dfrac{75 + n}{200 + n} = \dfrac{1}{2}$ eşitliği yazılır. Buradan $2(75 + n) = 200 + n \implies 150 + 2n = 200 + n \implies n = 50$ elde edilir. Toplam çekiş sayısının da arttığını dikkate almayıp 200’ün yarısı olan 100’e ulaşmak için $100 - 75 = 25$ çekiş gerektiğini düşünmek sık düşülen bir tuzaktır.

Koşullu Olasılık ve Bağımsız Olaylar — AYT soruları

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Matematik