II. Dereceden Eşitsizlikler — AYT soruları

Kısaca — Eşitsizlik sistemini sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı 6’dır.

Birinci eşitsizlik $(x - 5)(x + 1) < 0$ olarak çarpanlarına ayrılır ve çözüm aralığı $(-1, 5)$ olur. İkinci eşitsizlik $-(x^2 + 2x - 15) \ge 0 \implies (x + 5)(x - 3) \le 0$ biçimine dönüştürüldüğünde çözüm aralığı $[-5, 3]$ kapalı aralığı bulunur. Bu iki aralığın kesişimi $(-1, 3]$ yarı açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar $0, 1, 2, 3$ olup toplamları $0 + 1 + 2 + 3 = 6$ elde edilir.

Kısaca — Eşitsizliği sağlayan on tam sayı $\pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6$ olup kareleri toplamı 180’dir.

$x^2 = |x|^2$ olduğundan ifadeyi mutlak değere göre çarpanlarına ayırırsak $(|x|-1)(|x|-a) < 0$ elde edilir. $a > 1$ olduğundan eşitsizlik $1 < |x| < a$ haline gelir ve bu aralıktaki pozitif tam sayılar $2, 3, \ldots, a-1$ olmak üzere $a - 2$ tanedir. Mutlak değer simetrisinden ötürü her pozitif değerin negatifi de çözüm olduğundan $2(a - 2) = 10 \implies a = 7$ bulunur. Çözüm kümesindeki tam sayıların kareleri toplamı $2 \cdot (2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) = 2 \cdot 90 = 180$ olarak hesaplanır.

Kısaca — Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi $(3, a]$ yarı açık aralığı olduğundan bu aralıktaki 5 tam sayının sonuncusu $a = 8$ olur.

İlk olarak $a > 0$ olduğundan $(x-a)(x+3) \le 0$ eşitsizliğinin çözüm aralığı $[-3, a]$ olur. İkinci eşitsizlik olan $x^2 - 9 > 0$ ise $x < -3$ veya $x > 3$ bölgelerini verir; $[-3, a]$ aralığıyla kesiştirdiğinde sol taraftan ortak eleman gelmez ve geriye yalnızca $(3, a]$ aralığı kalır. Bu aralıktaki tam sayılar sırasıyla $4, 5, 6, 7$ ve 8 olmalıdır; $a$ dahil olduğundan $a = 8$ bulunur. İkinci eşitsizlikteki katı büyüklük sembolünü gözden kaçırıp 3 sayısını da çözüme dahil edersen $a = 7$ çeldiricisine düşebilirsin, sınırların dahil olup olmadığına mutlaka dikkat etmelisin.