Parabol — AYT konu anlatımı ve örnek sorular

Parabol, ikinci dereceden fonksiyonların grafiğini, tepe noktasını, simetri eksenini, eksenlerle kesişimlerini ve en küçük ya da en büyük değerini kapsar.

Öğrencinin denklem ile grafik arasında ilişki kurabilmesi, köklerden yararlanarak fonksiyonu yazabilmesi ve bir doğruyla teğetlik koşulunu kullanabilmesi gerekir. AYT Matematik sorularında eksenleri kestiği noktalar veya tepe noktasının üzerinde bulunduğu doğru verilerek katsayılar, bir noktanın ordinatı ya da parametreli bir ifade sorulabilir.

Seçenekler genellikle sayısal sonuçlardan oluşur. Tepe noktasının koordinatlarını karıştırmak, katsayının işaretini gözden kaçırmak ve teğetlik koşulunu yanlış kurmak sık yapılan hatalardır.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruOrta

$0<x_{1}<x_{2}$ olmak üzere

f(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})

parabolü $x$ eksenini apsisi büyük olan A noktasında, $y$ eksenini B noktasında kesmektedir. $|OA|=|OB|$ olup parabol $x=2$ iken en küçük değerini almaktadır.

Buna göre $\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ oranı kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: A — 3

Kısaca — $\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ oranı 3’tür.

Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleyelim: $x$ eksenini apsisi büyük olan noktada $A(x_{2},0)$ ’da kestiğinden $|OA|=x_{2}$ birimdir ( $x_{2}>0$ ). $y$ eksenini ise $x=0$ için $f(0)=(-x_{1})(-x_{2})=x_{1}x_{2}$ olduğundan $B(0,x_{1}x_{2})$ noktasında keser ve $|OB|=x_{1}x_{2}$ birimdir. $|OA|=|OB|$ verildiğinden $x_{2}=x_{1}x_{2}$ eşitliği kurulur; $x_{2}>0$ olduğundan her iki tarafı $x_{2}$ ile sadeleştirirsek $x_{1}=1$ buluruz. Parabol en küçük değerini $x=2$ ’de aldığından tepe apsisi $r=2$ ’dir ve bu değer köklerin aritmetik ortalamasına eşittir: $r=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=2 \Rightarrow 1+x_{2}=4 \Rightarrow x_{2}=3$ elde edilir. Buradan istenen oran $\dfrac{x_{2}}{x_{1}}=\dfrac{3}{1}=3$ olur. Tepe apsisi 2’yi doğrudan köklerden biri sanmak en yaygın çeldiricilere yönlendirir.

2. soruOrta

$m$ gerçek sayı olmak üzere

y=x^{2}-2mx+m^{2}-1

parabolü, $y=2x+m$ doğrusuna teğettir.

Buna göre $m^{2}+m$ değeri kaçtır?

\dfrac{2}{9}

✗ Bu değil

\dfrac{1}{3}

✗ Bu değil

-\dfrac{2}{9}

✓ Doğru

-\dfrac{1}{3}

✗ Bu değil

-\dfrac{1}{9}

✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: C — $-\dfrac{2}{9}$

Kısaca — $m^{2}+m$ değeri $-\dfrac{2}{9}$ ’dur.

Parabol ile doğrunun teğet olması, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfır olması demektir. Ortak denklemi kuralım: $x^{2}-2mx+m^{2}-1 = 2x+m \Rightarrow x^{2}-2(m+1)x+(m^{2}-m-1)=0$ . Bu denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır: $\Delta = [-2(m+1)]^{2}-4(1)(m^{2}-m-1) = 4(m^{2}+2m+1)-4(m^{2}-m-1) = 0$ . Her iki tarafı 4’e böldüğümüzde $(m^{2}+2m+1)-(m^{2}-m-1)=0 \Rightarrow 3m+2=0$ elde edilir ve buradan $m=-\dfrac{2}{3}$ bulunur. İstenen ifadede yerine yazarsak $m^{2}+m = \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2} + \left(-\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4}{9}-\dfrac{2}{3} = -\dfrac{2}{9}$ sonucuna ulaşırız. Ortak denklemde $m$ terimini sol tarafa geçirirken işaret hatası yapıp $m=2/3$ bulmak, pozitif olan $\dfrac{2}{9}$ çeldiricisine yol açabilir.

3. soruKolay

$a$ , $b$ ve $c$ gerçek sayılar olmak üzere,

y=ax^2+bx+c

parabolü $x$ -eksenini $(1,0)$ ve $(5,0)$ noktalarında kesmekte olup tepe noktası $y=x-7$ doğrusu üzerinde bulunmaktadır.

Buna göre bu parabolün $y$ -eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: C — 5

Kısaca — Parabolün tepe noktası $T(3,-4)$ ve katsayısı $a=1$ bulunarak $y$ -eksenini kestiği noktanın ordinatı 5 elde edilir.

Parabolün $x$ -eksenini kestiği noktalar 1 ve 5 olduğundan simetri ekseni bu köklerin tam ortasındadır: $r = \dfrac{1+5}{2} = 3$ . Tepe noktası $y=x-7$ doğrusu üzerinde yer aldığından ordinatı $k = 3-7 = -4$ olur; yani tepe noktası $T(3,-4)$ ’tür. Kökleri bilinen parabol denklemini $y=a(x-1)(x-5)$ biçiminde kurup $T(3,-4)$ noktasını sağlattığımızda $-4 = a(2)(-2) \implies a=1$ bulunur. Buradan parabol denklemi $y=(x-1)(x-5)$ olur ve $x=0$ yazıldığında $y$ -eksenini kestiği noktanın ordinatı $(0-1)(0-5)=5$ çıkar.

Parabol — AYT soruları

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Matematik