Cepte soru çözAYT

Cepte soru çözAYTGeometriVektörler

Geometri

Vektörler — AYT soruları

  • sınavda 10 soru
  • Uygulamada bu konudan 17 soru var
  • Ücretsiz

Uygulamada Vektörler konusundan 17 soru çöz

Konu özeti

Vektörler, yön ve büyüklük taşıyan nicelikleri, bunların koordinat düzleminde gösterimini, toplamlarını, skalerle çarpımlarını ve iç çarpımlarını kapsar.

Öğrencinin vektör bileşenleriyle işlem yapabilmesi, birim vektör kavramını kullanabilmesi ve diklik ile iç çarpım arasındaki ilişkiyi kurabilmesi gerekir. AYT Geometri sorularında verilen vektörlerin dik olmasını sağlayan parametre, aralarındaki açıdan yararlanılarak bir vektörel ifadenin değeri veya büyüklükleri bilinen vektörlerin iç çarpımı istenebilir.

Çoktan seçmeli sorularda seçenekler genellikle sayısal sonuçlardan oluşur. Yön ile büyüklüğü karıştırmak, bileşenlerde işaret hatası yapmak ve açıya bağlı iç çarpım hesabında işareti gözden kaçırmak yanlış seçeneğe götürebilir.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruKolay

Dik koordinat düzleminde u⃗=(2,−1)\vec{u}=(2,-1) ve v⃗=(−1,3)\vec{v}=(-1,3) vektörleri veriliyor. kk bir gerçek sayı olmak üzere u⃗+kv⃗\vec{u}+k\vec{v} vektörü, 2u⃗−v⃗2\vec{u}-\vec{v} vektörüne diktir.

Buna göre kk kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: D — 34\dfrac34

Kısaca — İki vektörün birbirine dik olması iç çarpımlarının sıfır olmasını gerektirdiğinden k=34k = \dfrac{3}{4} bulunur.

Vektörlerin doğrusal bileşimlerini bileşenleri cinsinden yazarsak u⃗+kv⃗=(2−k,−1+3k)\vec{u} + k\vec{v} = (2 - k, -1 + 3k) ve 2u⃗−v⃗=(2(2)−(−1),2(−1)−3)=(5,−5)2\vec{u} - \vec{v} = (2(2) - (-1), 2(-1) - 3) = (5, -5) olur. Diklik koşulu gereği iki vektörün iç çarpımını sıfıra eşitleriz: (2−k)⋅5+(−1+3k)⋅(−5)=0(2 - k) \cdot 5 + (-1 + 3k) \cdot (-5) = 0. İfadeleri düzenlediğimizde (10−5k)+(5−15k)=0  ⟹  15−20k=0(10 - 5k) + (5 - 15k) = 0 \implies 15 - 20k = 0 denklemi elde edilir. Buradan 20k=15  ⟹  k=1520=3420k = 15 \implies k = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4} sonucuna ulaşılır; ikinci terimdeki eksi işaretini dağıtırken hata yapanlar 12\dfrac{1}{2} veya 54\dfrac{5}{4} gibi çeldiricilere yönelebilir.

2. soruKolay

Aralarındaki açı 120∘120^\circ olan u⃗\vec{u} ve v⃗\vec{v} birim vektörleri için w⃗=2u⃗−3v⃗\vec{w}=2\vec{u}-3\vec{v} olarak tanımlanıyor.

Buna göre, ∣w⃗∣\lvert\vec{w}\rvert kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: E — 19\sqrt{19}

Kısaca — ∣w⃗∣=19\lvert\vec{w}\rvert = \sqrt{19} birimdir.

İki vektörün skaler çarpımını tanımlayalım: u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡120∘=1⋅1⋅(−12)=−12\vec{u}\cdot\vec{v} = \lvert\vec{u}\rvert\lvert\vec{v}\rvert\cos 120^\circ = 1\cdot 1\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2} olur. Aradığımız w⃗=2u⃗−3v⃗\vec{w}=2\vec{u}-3\vec{v} vektörünün büyüklüğü için her iki tarafın normunun karesini alalım: ∣w⃗∣2=4∣u⃗∣2−12(u⃗⋅v⃗)+9∣v⃗∣2=4(1)−12(−12)+9(1)=4+6+9=19\lvert\vec{w}\rvert^2 = 4\lvert\vec{u}\rvert^2 - 12(\vec{u}\cdot\vec{v}) + 9\lvert\vec{v}\rvert^2 = 4(1) - 12\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 9(1) = 4 + 6 + 9 = 19. Buradan karekök aldığımızda ∣w⃗∣=19\lvert\vec{w}\rvert = \sqrt{19} sonucuna ulaşırız. Vektörleri birbirine dik kabul edip iç çarpımı sıfır alanlar 13\sqrt{13} çeldiricisine düşebilir.

3. soruKolay

a⃗+b⃗+c⃗=0⃗\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} koşulunu sağlayan üç vektörün büyüklükleri ∣a⃗∣=3\lvert\vec{a}\rvert=3, ∣b⃗∣=4\lvert\vec{b}\rvert=4 ve ∣c⃗∣=13\lvert\vec{c}\rvert=\sqrt{13}’tür.

Buna göre a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} iç çarpımı kaçtır?

Cevabı göster

Cevap: B — −6-6

Kısaca — a⃗⋅b⃗=−6\vec{a}\cdot\vec{b} = -6’dır.

Verilen vektörel toplamı a⃗+b⃗=−c⃗\vec{a}+\vec{b} = -\vec{c} biçiminde yazıp her iki tarafın normunun karesini alalım. Eşitliğin sol tarafını açtığımızda ∣a⃗∣2+2(a⃗⋅b⃗)+∣b⃗∣2=∣c⃗∣2\lvert\vec{a}\rvert^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) + \lvert\vec{b}\rvert^2 = \lvert\vec{c}\rvert^2 bağıntısını elde ederiz. Bilinen büyüklükleri yerine koyarsak 32+2(a⃗⋅b⃗)+42=(13)2  ⟹  25+2(a⃗⋅b⃗)=133^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) + 4^2 = (\sqrt{13})^2 \implies 25 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b}) = 13 olur. Buradan 2(a⃗⋅b⃗)=13−25=−122(\vec{a}\cdot\vec{b}) = 13 - 25 = -12 ve dolayısıyla a⃗⋅b⃗=−6\vec{a}\cdot\vec{b} = -6 bulunur. Çıkarma sırasını ters yapıp 25−13=1225 - 13 = 12 alanlar pozitif olan 6 cevabına yönelebilir.

Her soru tam o anki seviyene göre seçilir, yanlışların oturana kadar geri gelir, hepsi çevrimdışı çalışır.

Uygulamada Vektörler konusundan 17 soru çöz

Diğer AYT konuları

Geometri

AYT hakkında her şey

Cepte soru çöz, bağımsız bir çalışma uygulamasıdır; hiçbir sınav kurumu, okul ya da resmî kurumla bağlantılı, bunlarca desteklenen veya onaylanan bir uygulama değildir.

AYT (Alan Yeterlilik Testi), Yükseköğretim Kurumları Sınavı (YKS) kapsamında ÖSYM tarafından düzenlenen resmî bir sınavın ikinci oturumudur. Bu uygulama ÖSYM ile bağlantılı değildir.

Uygulamadaki tüm sorular ve metinler Cepte soru çöz için özgün olarak hazırlanmıştır; hiçbir resmî sınavdan alınmamıştır.