Üçgende Yükseklik — AYT soruları

Kısaca — Tabana ait yükseklik 5 birimdir.

Bir üçgenin alanı $\text{Alan}=\dfrac{\text{taban}\cdot h}{2}$ formülü ile hesaplanır. Soruda verilen taban uzunluğu 12 birim ve alan 30 birimkare değerleri yerine yazıldığında $30=\dfrac{12\cdot h}{2}=6h$ denklemi elde edilir. Buradan her iki taraf 6’ya bölündüğünde tabana ait yükseklik $h=5$ birim bulunur. Formüldeki ikiye bölmeyi unutup doğrudan $12h=30$ yazmak veya alanı tabana bölmek en sık karşılaşılan çeldirici hatalardır.

Kısaca — Üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $\dfrac{65}{8}$ birimdir.

$A$ köşesinden inen $[AD]$ yüksekliği için $|BD|=x$ ve $|DC|=x+4$ denirse iki dik üçgende Pisagor bağıntılarının farkından $15^2-(x+4)^2=13^2-x^2$ eşitliği yazılır. Bu denklem çözüldüğünde $225-(x^2+8x+16)=169-x^2 \implies 8x=40 \implies x=5$ bulunur; buradan yükseklik $|AD|=12$ ve taban $|BC|=5+9=14$ birim çıkar. Tabanı 14 ve yüksekliği 12 olan üçgenin alanı $A=\dfrac{14\cdot 12}{2}=84$ birimkaredir. Çevrel çember yarıçapı formülünden $R=\dfrac{a\cdot b\cdot c}{4A}=\dfrac{14\cdot 13\cdot 15}{4\cdot 84}=\dfrac{2730}{336}=\dfrac{65}{8}$ birim elde edilir. Paydadaki $4A$ yerine $2A$ formülünü karıştırıp kullanmak en yaygın çeldirici tuzaktır.

Kısaca — Yükseklik ayağı ve diklik merkezinin ayırdığı parçalar hesaplandığında $\dfrac{AH}{HD}$ oranı $\dfrac{11}{5}$ bulunur.

$ABC$ üçgeninde $BC$ kenarına indirilen $AD$ yüksekliğini bulmak için $BD = x$ dersek, $13^2 - x^2 = 15^2 - (14-x)^2$ eşitliğinden $x = BD = 5$ birim ve Pisagor bağıntısıyla $AD = 12$ birim ($CD = 9$ birim) elde ederiz. $B$ köşesinden $AC$’ye indirilen yükseklik çizildiğinde oluşan açılar takip edilirse $\widehat{HBD} = \widehat{CAD}$ olur ve $\triangle HDB \sim \triangle CDA$ açı-açı benzerliği kurulur. Bu benzerlikten $\dfrac{HD}{CD} = \dfrac{BD}{AD} \implies \dfrac{HD}{9} = \dfrac{5}{12}$ yazılarak $HD = \dfrac{15}{4}$ birim ve $AH = 12 - \dfrac{15}{4} = \dfrac{33}{4}$ birim bulunur. Böylece istenen oran $\dfrac{AH}{HD} = \dfrac{33/4}{15/4} = \dfrac{11}{5}$ olur; oran sırasını ters alanlar $\dfrac{5}{11}$ ya da parça-bütün yanılgısıyla $\dfrac{11}{16}$ gibi çeldiricilere düşebilir.