Üçgende Alan — AYT soruları

Kısaca — $|BD|:|DC|$ oranı $\dfrac{3}{5}$’tir.

$ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin $A$ köşesinden inen yükseklikleri ortak olduğundan alanları oranı tabanları oranına eşittir: $\dfrac{A(ABD)}{A(ACD)} = \dfrac{|BD|}{|DC|}$. Benzer biçimde $PBD$ ve $PCD$ üçgenlerinin de yükseklikleri ortak olduğundan $\dfrac{A(PBD)}{A(PCD)} = \dfrac{|BD|}{|DC|}$ yazılır. Taraf tarafa çıkarıldığında $\dfrac{A(ABD) - A(PBD)}{A(ACD) - A(PCD)} = \dfrac{A(PAB)}{A(PCA)} = \dfrac{|BD|}{|DC|}$ temel bağıntısı elde edilir; buradan $\dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$ bulunur. Tabanla doğrudan ilişkili olmayan $A(PBC)=24$ alanını orana dahil etmek en sık yapılan çeldirici hatadır.

Kısaca — İki kenar ve aralarındaki açının sinüsü kullanılarak $ABC$ üçgeninin alanı 10 birimkare bulunur.

Bir üçgende bilinen iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı verildiğinde alan formülü $\text{Alan} = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$ dır. Verilen $AB = 8$, $AC = 5$ ve $\alpha = 30^{\circ}$ değerlerini formüle yerleştirelim: $\text{Alan} = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin(30^{\circ})$. Özel açı değerimiz $\sin(30^{\circ}) = \dfrac{1}{2}$ olduğundan işlem $\text{Alan} = \dfrac{1}{2} \cdot 40 \cdot \dfrac{1}{2} = 10$ birimkare olarak sonuçlanır. Formüldeki $\dfrac{1}{2}$ çarpanını unutarak doğrudan kenarlar ile sinüsü çarpmak 20 çeldiricisine götürür.

Kısaca — Sinüslü alan formülü uygulandığında üçgenin alanı $15\sqrt{3}$ birimkare bulunur.

$B$ açısı $BA$ ve $BC$ kenarlarının oluşturduğu iç açı olduğundan doğrudan sinüslü alan formülünü uygulayabiliriz: $\text{Alan} = \dfrac{1}{2} \cdot |BA| \cdot |BC| \cdot \sin(B)$. Kenar uzunluklarını ve açıyı yerine yazarsak $\text{Alan} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin(60^{\circ})$ olur. $\sin(60^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ değerini yerine koyduğumuzda $\text{Alan} = 30 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ birimkare elde edilir. Formülün başındaki $\dfrac{1}{2}$ katsayısını unutmak $30\sqrt{3}$ yanılgısına neden olur.