Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları — AYT soruları

Kısaca — İç açılar toplamından $x=20^\circ$ bulunur ve açılara karşılık gelen kenarlar büyükten küçüğe $AB > AC > BC$ olarak sıralanır.

Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan $2x + 3x + 4x = 180^\circ \implies 9x = 180^\circ \implies x = 20^\circ$ denklemini çözeriz. Buradan açı ölçüleri $\hat{A} = 40^\circ$, $\hat{B} = 60^\circ$ ve $\hat{C} = 80^\circ$ olarak hesaplanır. Açıların büyükten küçüğe sıralaması $\hat{C} > \hat{B} > \hat{A}$ olduğundan, bu açıların baktığı karşı kenarlar da aynı sırayla $AB > AC > BC$ şeklinde dizilir. En yaygın hata, köşe harfleri ile kenarları doğrudan eşleştirip $A$ açısının karşısında $AB$ kenarı varmış gibi düşünerek yanlış çeldiricilere yönelmektir.

Kısaca — Üçüncü kenar $6 < x < 24$ aralığında yer alır ve bu aralıktaki 17 farklı tam sayının toplamı 255’tir.

Üçüncü kenarın uzunluğuna $x$ dersek üçgen eşitsizliği gereği $|15 - 9| < x < 15 + 9 \implies 6 < x < 24$ olmalıdır. $x$ tam sayı olduğundan alabileceği değerler 7’den 23’e kadar olan ardışık tam sayılardır. Bu dizide terim sayısı $23 - 7 + 1 = 17$ tanedir; terimler toplamı formülünden $\text{Toplam} = 17 \times \dfrac{7 + 23}{2} = 17 \times 15 = 255$ bulunur. Sınır değerleri olan 6 ve 24’ü de toplama dâhil ederek 285 bulmak ya da terim sayısını hesaplarken $+1$ eklemeyi unutup 240’a ulaşmak en yaygın işlem hatalarıdır.

Kısaca — Üçgen eşitsizliğinden $\dfrac{10}{3} < x < 10$ aralığı elde edilir ve $x$’in alabileceği en büyük tam sayı değeri 9’dur.

Sabit olan 7 birimlik kenarı ortaya alarak eşitsizliği kuralım: $|(2x - 3) - x| < 7 < (2x - 3) + x$ yazılır. Sağ kısımdan $7 < 3x - 3 \implies 3x > 10 \implies x > \dfrac{10}{3}$ eşitsizliğine ulaşılır. Sol kısımdan ise $|x - 3| < 7 \implies -7 < x - 3 < 7 \implies -4 < x < 10$ bulunur. Bu iki koşulun kesişimi $\dfrac{10}{3} < x < 10$ aralığını verir; $x$ bir tam sayı olduğundan 10’dan küçük en büyük tam sayı değeri 9 olur. $x < 10$ eşitsizliğindeki küçüktür işaretini küçük eşittir gibi değerlendirip 10 seçeneğine gitmek en yaygın çeldiricidir.