Katı Cisimler (Uzay Geometri) — AYT soruları

Kısaca — Benzerlik veya koordinat sistemiyle $P$ noktasının $G$’de birleşen yüzlere uzaklıkları 4, $\dfrac{16}{3}$ ve 8 olup toplamları $\dfrac{52}{3}$ birimdir.

$A$ köşesi orijin $(0,0,0)$ kabul edilirse karşıt köşe $G(6,8,12)$ olur. $|AP|:|PG|=1:2$ verildiğinden $P$ noktasının $G$’ye olan uzaklığının tüm uzay köşegenine oranı $\dfrac{|PG|}{|AG|} = \dfrac{2}{3}$’tür. $P$’den $G$ köşesinde birleşen yüzey düzlemlerine indirilen dikmeler prizmanın ayrıtlarına paraleldir; dolayısıyla benzerlik gereği her bir yüzeye olan uzaklık ilgili ayrıtın $\dfrac{2}{3}$’si kadardır. Bu uzaklıklar sırasıyla $\dfrac{2}{3}\cdot 6 = 4$, $\dfrac{2}{3}\cdot 8 = \dfrac{16}{3}$ ve $\dfrac{2}{3}\cdot 12 = 8$ birim olur. Uzaklıkların toplamı $4 + \dfrac{16}{3} + 8 = \dfrac{52}{3}$ birimdir. $G$ köşesinde birleşen yüzler yerine $A$ köşesinde birleşen yüzlere olan uzaklıkları hesaplamak en yaygın işlem hatasıdır.

Kısaca — Taban merkezinin köşeye uzaklığından piramidin yüksekliği 3 cm bulunur ve hacim formülüyle $9\sqrt{3}\text{ cm}^3$ elde edilir.

Kenar uzunluğu 6 cm olan eşkenar üçgen tabanın yüksekliği $\dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}$, ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı ise bu yüksekliğin üçte ikisi olan $2\sqrt{3}\text{ cm}$’dir. Yanal ayrıt $\sqrt{21}\text{ cm}$ olduğundan, piramit yüksekliği $h = \sqrt{(\sqrt{21})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{21 - 12} = 3\text{ cm}$ bulunur. Taban alanı $\dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2$ olduğuna göre hacim $V = \dfrac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3}\text{ cm}^3$ çıkar. Piramit hacmindeki $\dfrac{1}{3}$ çarpanını unutmak seni doğrudan $27\sqrt{3}$ sonucuna götürür.

Kısaca — Kaptaki yağın yüksekliği 18 cm olur.

İlk deponun tamamının hacmi $V_{\text{depo}} = \pi r_1^2 h_1 = \pi \cdot 6^2 \cdot 16 = 576\pi\text{ cm}^3$’tür. Depo yarısına kadar dolu olduğundan aktarılan yağın hacmi $\dfrac{576\pi}{2} = 288\pi\text{ cm}^3$ olur. Bu yağ, taban yarıçapı $r_2 = 4\text{ cm}$ olan yeni bir kaba doldurulduğunda kapta oluşan sıvı yüksekliğine $H$ dersek, hacim eşitliğinden $\pi r_2^2 H = 288\pi \implies \pi \cdot 4^2 \cdot H = 288\pi$ yazılır. Buradan $16H = 288 \implies H = 18\text{ cm}$ bulunur. (Deponun ‘yarısına kadar’ dolu olduğu ifadesi gözden kaçırılıp tüm hacim aktarılmış gibi işlem yapılsaydı 36 cm yanılgısına düşülebilirdi.)