Doğrunun Analitiği — AYT soruları

Kısaca — Denklemlerin kareleri toplanıp ortak paranteze alındığında $(a^2+b^2)(x^2+y^2) = 100$ bağıntısından $P$ noktasının orijine uzaklığı 5 birim bulunur.

$P(x,y)$ noktası her iki doğru denklemini de sağladığından, denklemlerin karelerini alıp taraf tarafa toplayalım: $(ax+by)^2 + (bx-ay)^2 = 6^2 + 8^2$. İfadeleri açtığımızda çarpım terimleri $+2abxy$ ile $-2abxy$ birbirini sadeleştirir ve $(a^2+b^2)x^2 + (a^2+b^2)y^2 = 36 + 64 = 100$, yani $(a^2+b^2)(x^2+y^2) = 100$ elde edilir. Soruda $a^2+b^2=4$ verildiğinden $4(x^2+y^2) = 100 \implies x^2+y^2 = 25$ olur. $P$ noktasının orijine uzaklığı $\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{25} = 5$ birim olarak hesaplanır.

Kısaca — $d$ doğrusunun denklemi $2x-y=7$ dir.

Verilen iki doğrunun kesim noktasını bulmak için denklemleri taraf tarafa toplayalım: $(x + y) + (x - y) = 2 + 4 \implies 2x = 6 \implies x = 3$ olur. İlk denklemde $x=3$ yazarsak $3 + y = 2 \implies y = -1$ bulunur; yani kesim noktası $(3,-1)$ dir. Bu noktadan geçen ve eğimi $m = 2$ olan $d$ doğrusunun denklemi $y - (-1) = 2(x - 3)$ biçiminde yazılır. İfadeyi düzenlediğimizde $y + 1 = 2x - 6 \implies 2x - y = 7$ sonucuna ulaşırız. Kesim noktasını bulurken toplama yerine çıkarma hatası yapmak veya sabit terimde işaret hatası yapmak $2x-y=5$ çeldiricisine sebep olur.

Kısaca — $d$ doğrusunun denklemi $4x+3y=24$ olarak bulunur.

Doğrunun eksenleri pozitif tarafta kestiği noktalar $(a,0)$ ve $(0,b)$ olsun ($a>0, b>0$). Eğim negatif yönde $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{3}$ olduğundan eksen kesim noktaları arasında $b = \dfrac{4}{3}a$, yani $a = 3k$ ve $b = 4k$ ($k>0$) bağıntısı vardır. Eksenlerle sınırlanan dik üçgenin alanı $\dfrac{a \cdot b}{2} = 24$ olarak verildiğinden $\dfrac{3k \cdot 4k}{2} = 24 \implies 6k^2 = 24 \implies k = 2$ bulunur. Buradan $a = 6$ ve $b = 8$ elde edilir; eksenleri kestiği noktaları bilinen doğru denklemi $\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{8} = 1$ olur. Paydaları 24 ile eşitleyip düzenlediğimizde aradığımız $4x + 3y = 24$ denklemine ulaşırız.