Çemberin Analitiği — AYT soruları

Kısaca — Çemberin yarıçapı $\dfrac{17}{2}$ birimdir.

Merkezi pozitif $x$-ekseni üzerinde olan çemberin merkez koordinatları $r>0$ olmak üzere $M(r,0)$ biçimindedir. Çember $y$-eksenine teğet olduğundan merkezin $y$-eksenine uzaklığı doğrudan yarıçapa eşit olur ve standart denklem $(x-r)^2 + y^2 = r^2$ biçimini alır. Çember $(1,4)$ noktasından geçtiği için bu koordinatlar denklemi sağlar: $(1-r)^2 + 4^2 = r^2 \implies 1 - 2r + r^2 + 16 = r^2$. Eşitlikteki $r^2$ terimleri sadeleştiğinde geriye $17 - 2r = 0$ doğrusal denklemi kalır. Buradan aranan yarıçap $r = \dfrac{17}{2}$ birim olarak bulunur.

Kısaca — Çemberin yarıçapı $\dfrac{50}{13}$ birimdir.

Orijindeki teğet $3x-4y=0$ doğrusunun eğimi $\dfrac{3}{4}$ olduğundan, teğete orijinde dik olan normal doğrusunun eğimi $-\dfrac{4}{3}$ olur. Merkez bu doğru üzerinde ve IV. bölgede yer aldığından $k>0$ olmak üzere merkez $M(3k, -4k)$ ve orijine uzaklık olan yarıçap $R = 5k$ birimdir. Çember $A(6,-2)$ noktasından geçtiği için $(6-3k)^2 + (-2+4k)^2 = (5k)^2$ eşitliği sağlanmalıdır. İfade açılıp düzenlendiğinde $36 - 36k + 9k^2 + 4 - 16k + 16k^2 = 25k^2 \implies 40 - 52k = 0$ olup $k = \dfrac{10}{13}$ bulunur. Buradan yarıçap $R = 5k = 5 \cdot \dfrac{10}{13} = \dfrac{50}{13}$ birim elde edilir.

Kısaca — $m$’nin alabileceği değerler $m < 8-2\sqrt{11}, m \ne 0$ veya $m > 8+2\sqrt{11}$ olmalıdır.

İfadenin ikinci dereceden çember denklemi olabilmesi için $x^2$ ve $y^2$ terimlerinin yok olmaması, yani $m \ne 0$ olması gerekir. Denklemi $m$’ye bölüp yarıçap bağıntısını yazdığımızda $r^2 = \left(\dfrac{2}{m}\right)^2 + \left(\dfrac{m+2}{2m}\right)^2 - \dfrac{5}{m} > 0$ elde ederiz. Paydaları $4m^2$ ile eşitlediğimizde $m^2 - 16m + 20 > 0$ eşitsizliğine ulaşırız. Kökler $m_{1,2} = 8 \pm 2\sqrt{11}$ bulunur; $8 - 2\sqrt{11} > 0$ olduğundan 0 değeri sol aralıkta kalır ve çember olma tanımı gereği mutlaka dışlanmalıdır.