Üçgende Eşlik ve Benzerlik — AYT soruları

Kısaca — $DBCE$ dörtgeninin alanı 126 birimkaredir.

$DE \parallel BC$ olduğundan temel benzerlik gereği $ADE$ üçgeni ile $ABC$ üçgeni benzerdir. $AB$ kenarının tamamı $AD + DB = 4 + 6 = 10$ birim olduğundan benzerlik oranı $k = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$ olur. Benzer üçgenlerin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşit olduğundan $\dfrac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(ABC)} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25}$ bulunur. $\text{Alan}(ADE) = 24$ birimkare olduğundan büyük üçgenin alanı $\text{Alan}(ABC) = 24 \cdot \dfrac{25}{4} = 150$ birimkaredir. Dörtgenin alanı ise bu iki alanın farkına eşittir: $150 - 24 = 126$ birimkare elde edilir. En sık yapılan hata, benzerlik oranını kenarın tamamı ($AB$) yerine alt parçaya ($DB$) oranlayarak $\dfrac{4}{6}$ üzerinden işlem yapmaktır.

Kısaca — Verilen kenarlar ilk üçgendeki 8 ve 10’a karşılık geldiğinden ikinci üçgenin çevresi 36 birimdir.

İlk üçgenin kenarları $6, 8, 10$ birimdir. İkinci üçgendeki iki kenarın oranı $\dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$’tir. İlk üçgenin kenarları arasında bu $\dfrac{4}{5}$ oranını sağlayan tek çift $\dfrac{8}{10}$ olduğundan, 12 kenarı 8’e, 15 kenarı ise 10’a karşılık gelmek zorundadır. Buradan benzerlik oranı $k = \dfrac{12}{8} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}$ bulunur. Bu durumda ilk üçgendeki 6 birimlik kenarın karşılığı $6 \cdot \dfrac{3}{2} = 9$ birim olur. Kenarları $9, 12, 15$ birim olan ikinci üçgenin çevresi $9 + 12 + 15 = 36$ birim olarak elde edilir.

Menelaus teoremine göre $\dfrac{AF}{FB}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1$ yazılır. $\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{9}{EA}=1$ eşitliğinden $\dfrac{15}{2\,EA}\cdot 3$ sadeleştirmesiyle $EA=\dfrac{15}{2}$ bulunur.