Konikler (Elips, Parabol, Hiperbol) — AYT soruları

Kısaca — Elipsin parametreleri $a=5$ ve $b^2=5$ olduğundan odak kirişinin uzunluğu $2b^2/a=2$ birimdir. Odak bilgisinden $a^2-b^2=20$ elde edilir. $t=b^2>0$ yazıp verilen noktayı elips denkleminde yerine koyarsan $16/(t+20)+9/(5t)=1$ bulursun. Her iki tarafı $5t(t+20)$ ile çarptığında $80t+9(t+20)=5t(t+20)$, buradan $5t^2+11t-180=(t-5)(5t+36)=0$ elde edilir. Pozitif kök $t=5$ olduğundan $b^2=5$ ve $a=5$ olur. Odak kirişinin uzunluğu $2b^2/a=2\cdot5/5=2$ birimdir. Formüldeki 2 katsayısını unutmak, kirişin yalnızca yarısını hesaplayıp 1 seçeneğine yönelmene neden olur.

Kısaca — Standart denklemi $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{27} = 1$ olan elipsin sınırladığı alan $18\sqrt3\pi$ birimkaredir.

$P(x,y)$ noktasının $F(3,0)$ noktasına uzaklığı $\sqrt{(x-3)^2 + y^2}$, $x=12$ doğrusuna dik uzaklığı ise $|x-12|$’dir. Verilen orana göre $\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = \dfrac{|x-12|}{2}$ denklemi kurulur ve her iki tarafın karesi alındığında $4\left((x-3)^2 + y^2\right) = (x-12)^2$ elde edilir. Parantezleri açıp düzenlersek $4(x^2 - 6x + 9 + y^2) = x^2 - 24x + 144 \implies 3x^2 + 4y^2 = 108$ bağıntısına ulaşırız. Eşitliğin her iki tarafını 108’e böldüğümüzde standart elips denklemi $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{27} = 1$ olur; buradan yarı eksenler $a = \sqrt{36} = 6$ ve $b = \sqrt{27} = 3\sqrt3$ bulunur. Elipsin alanı $\text{Alan} = \pi \cdot a \cdot b = \pi \cdot 6 \cdot 3\sqrt3 = 18\sqrt3\pi$ birimkare hesaplanır; yarı küçük ekseni kökten çıkarmayı unutup $b=27$ almak gibi hatalar $27\pi$ çeldiricisine yol açabilir.

Kısaca — Koniği oluşturan paralel doğrular $x+2y-1=0$ ve $x+2y-5=0$ olduğundan aralarındaki uzaklık $\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ birimdir.

Verilen denklemdeki terimleri tam kare oluşturacak şekilde gruplayalım: $x^2+4xy+4y^2 = (x+2y)^2$ ve $-6x-12y = -6(x+2y)$ olduğunu görürüz. Böylece denklem $(x+2y)^2 - 6(x+2y) + 5 = 0$ biçimine dönüşür. $u = x+2y$ dersek $u^2 - 6u + 5 = 0 \implies (u-1)(u-5) = 0$ çarpanlarına ayrılır. Buradan iki paralel doğru $d_1: x+2y-1=0$ ve $d_2: x+2y-5=0$ olarak bulunur. Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü $d = \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ olduğundan $d = \dfrac{|1 - 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{5}} = \dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ birim elde edilir.