Üçgende Merkezler — AYT soruları

Kısaca — İç açıortayların kesişimiyle oluşan açı formülünden veya iç açılar toplamından $m(\widehat{BIC}) = 125^\circ$ bulunur.

İç teğet çemberin merkezi ($I$), üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktasıdır. İki iç açıortayın oluşturduğu geniş açı için $m(\widehat{BIC}) = 90^\circ + \dfrac{m(\widehat{A})}{2}$ bağıntısı kullanılır. Tepe açısı $m(\widehat{A}) = 70^\circ$ olduğundan $m(\widehat{BIC}) = 90^\circ + \dfrac{70^\circ}{2} = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ$ elde edilir. Formülü hatırlamadığın durumlarda $ABC$ üçgeninin iç açıları toplamından $m(\widehat{C}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 60^\circ$ bulup, $IBC$ üçgeninin taban açılarını açıortay gereği $25^\circ$ ve $30^\circ$ alarak da $180^\circ - (25^\circ + 30^\circ) = 125^\circ$ sonucuna kolayca ulaşabilirsin.

Kısaca — Ağırlık merkezinin $BC$ kenarına uzaklığı 4 cm’dir.

$A$ köşesinden $[BC]$ kenarının orta noktası $D$’ye çizilen kenarortayı düşünelim. Ağırlık merkezi $G$, bu kenarortay üzerinde $[BC]$ kenarına 1 birim, $A$ köşesine 2 birim uzaklıktadır ($|GD| = k$, $|AG| = 2k$). $G$ noktasından ve $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına indirilen dikmeler benzer üçgenler oluşturur; bu benzerlikten dolayı $G$’nin kenara uzaklığı, $A$’nın kenara uzaklığının (yani yüksekliğin) $\dfrac{k}{3k} = \dfrac{1}{3}$’ü kadar olur. Buradan istenen uzaklık $\dfrac{12}{3} = 4\text{ cm}$ bulunur. En çekici çeldirici olan 8 cm, ağırlık merkezinin köşeye karşılık gelen $\dfrac{2}{3}$’lük düşey payıdır; sorunun tabana olan uzaklığı sorduğuna dikkat etmelisin.

Kısaca — $x + y = 4$ tür.

$[AB]$ kenarı $x$-ekseni üzerinde yer aldığından, $C(2,6)$ köşesinden karşı kenara inen yükseklik düşey $x = 2$ doğrusudur. $BC$ doğrusunun eğimi $m_{BC} = \dfrac{0 - 6}{8 - 2} = -1$ dir. Dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ olduğundan, $A(0,0)$ noktasından $[BC]$ kenarına inen yüksekliğin eğimi 1 olur ve denklemi $y = x$ olarak bulunur. Bu iki yüksekliğin kesişim noktası $x=2$ ve $y=2$ olup diklik merkezi $H(2,2)$ dir; buradan $x + y = 2 + 2 = 4$ elde edilir.