Çember ve Daire — AYT soruları

Kısaca — Yarıçapı 6 birim olan çemberde $60^\circ$’lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğu $2\pi$ birimdir.

Bir çemberde merkez açının gördüğü yay uzunluğu $L = 2\pi r \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}$ bağıntısıyla hesaplanır. Verilen $r = 6$ ve $\alpha = 60^\circ$ değerlerini yerine yazdığımızda, $60^\circ$ tam çemberin $\dfrac{60^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{6}$’i olduğundan yay uzunluğu $2\pi \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{6} = 2\pi$ birim bulunur. Daire dilimi alan formülüyle karıştırıp $\pi r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ} = 6\pi$ hesaplamak veya çember çevresi formülündeki 2 çarpanını unutup $\pi$ cevabına yönelmek en sık yapılan işlem hatasıdır.

Kısaca — Değme noktası $T(3,4)$ olup koordinatları toplamı 7’dir.

Birinci çemberin merkezi $O(0,0)$ ve yarıçapı $r_1=5$, ikinci çemberin merkezi $M(a,12)$ ve yarıçapı $r_2=10$ birimdir. İki çember dıştan teğet olduğundan merkezler arasındaki uzaklık yarıçaplar toplamına eşittir: $|OM| = 5+10=15$. Buradan $a^2 + 12^2 = 15^2 \implies a^2 = 81$ ve $a>0$ olduğundan $a = 9$ bulunur. Değme noktası $T$, $[OM]$ doğru parçasını merkezlerin yarıçapları oranında ($5:10 = 1:2$) içten böldüğünden $T = \left(\dfrac{9}{3}, \dfrac{12}{3}\right) = (3,4)$ olur. Buradan $T$ noktasının koordinatları toplamı $3+4=7$ olarak hesaplanır.

Kısaca — Bu çevre açısının ölçüsü $48^\circ$ dir.

Çemberde bir merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan $AB$ yayının ölçüsü $m(\overgroup{AB}) = 96^\circ$ dir. Aynı yayı gören çevre açısının ölçüsü ise gördüğü yayın (ve dolayısıyla aynı yayı gören merkez açının) ölçüsünün yarısına eşittir. Buradan çevre açının ölçüsü $\dfrac{96^\circ}{2} = 48^\circ$ olarak bulunur. Çevre açı ile merkez açı ilişkisini ters kurup 96’yı 2 ile çarpmak en yaygın çeldirici olan 192 sonucunu verir.