Çokgenler ve Düzgün Çokgenler — AYT soruları

Kısaca — Düzgün altıgenin bir iç açısının ölçüsü $120^\circ$dir.

Düzgün çokgenlerde bir iç açıyı bulurken dış açıdan yararlanmak en pratik yaklaşımdır. Bütün düzgün çokgenlerin dış açıları toplamı $360^\circ$ olduğundan, düzgün altıgenin bir dış açısı $\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ olur. Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı $180^\circ$ olduğundan iç açı $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ olarak bulunur. Düzgün beşgenin iç açısı olan $108^\circ$ veya düzgün sekizgenin iç açısı olan $135^\circ$ değerleri bu soruda en güçlü çeldiricilerdir.

Kısaca — Bir köşeden çizilen köşegenler çokgeni $n-2$ üçgene ayırdığından 9 kenarlı bu çokgenin toplam 27 köşegeni vardır.

$n$ kenarlı bir dışbükey çokgenin bir köşesinden, kendisine ve komşu iki köşesine köşegen çizilemeyeceğinden $n-3$ adet köşegen çizilebilir. Bu $n-3$ adet köşegen çokgeni $(n-3)+1 = n-2$ adet üçgensel bölgeye ayırır. Soruda $n-2 = 7$ verildiğinden çokgenin kenar sayısı $n = 9$ olur. Bir çokgenin toplam köşegen sayısı $\dfrac{n(n-3)}{2}$ formülüyle hesaplandığından $\dfrac{9 \cdot (9-3)}{2} = \dfrac{9 \cdot 6}{2} = 27$ köşegen bulunur.

Kısaca — Küçük çokgenin iç açılar toplamı $1260^\circ$ dir.

Küçük çokgenin kenar sayısı $n$ ise ardışık tek sayı olduklarından büyük olanın kenar sayısı $n+2$ olur. Çokgenlerin köşegen sayıları farkı $\dfrac{(n+2)(n-1)}{2} - \dfrac{n(n-3)}{2} = 17$ denklemini verir. İfadeleri sadeleştirdiğimizde $\dfrac{4n - 2}{2} = 17 \implies 2n - 1 = 17 \implies n = 9$ (dokuzgen) bulunur. 9 kenarlı bir çokgenin iç açılar toplamı $(n-2) \cdot 180^\circ = 7 \cdot 180^\circ = 1260^\circ$ olarak elde edilir. Büyük çokgenin iç açılar toplamı olan $9 \cdot 180^\circ = 1620^\circ$ değerini hesaplamak en çekici çeldiricidir.