Üçgende Trigonometrik Bağıntılar (Sinüs ve Kosinüs Teoremi) — AYT soruları

Kısaca — $A$ açısının karşısındaki kenarın alabileceği iki farklı uzunluğun toplamı $14\sqrt3$’tür.

$B$ köşesine göre kosinüs teoremini kurarsak $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$ bağıntısını yazarız. Verilen $b = 10$, $c = 14$ ve $m(\widehat B) = 30^\circ$ değerlerini yerine koyup $a = x$ dersek $10^2 = x^2 + 14^2 - 2\cdot x\cdot 14\cdot \cos 30^\circ$ denklemi oluşur. $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$ yazıp düzenlediğinde $x^2 - 14\sqrt3 x + 96 = 0$ ikinci dereceden denklemini elde edersin. Çizilebilen iki farklı üçgendeki kenar uzunlukları $x_1$ ve $x_2$ bu denklemin kökleri olduğundan, kökler toplamı formülüyle doğrudan $x_1 + x_2 = -\dfrac{-14\sqrt3}{1} = 14\sqrt3$ bulursun.

Kısaca — Üçgenin en büyük iç açısının ölçüsü $120^\circ$ dir.

Bir üçgende en büyük iç açı, daima en uzun kenarın karşısında yer alır; dolayısıyla $x$ açısı 13 birimlik kenarın karşısındadır. Kosinüs teoremini kurarsak $13^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos x$ eşitliğini elde ederiz. Bu denklemi düzenlediğimizde $169 = 113 - 112 \cos x$ ve buradan $112 \cos x = -56$, yani $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ bulunur. Üçgenin iç açısı geniş açı olduğunda kosinüs değeri negatiftir; $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ olduğundan $x = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ olur. İşaret hatası yaparak açıyı $60^\circ$ bulanların çeldiriciye düşebileceğine dikkat etmelisin.

Sinüs teoremine göre bir kenarın, karşısındaki açının sinüsüne oranı $2R$ ye eşittir. Bu nedenle $|AC|=2\cdot 4\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ=8\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=12$ birimdir.