Özel Üçgenler (Dik, İkizkenar, Eşkenar Üçgen) — AYT soruları

Kısaca — İkizkenar dik üçgenin dik kenarları 10 birim olup üçgenin çevresi $20+10\sqrt{2}$ birimdir.

$m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ ve $|AB| = |AC|$ olarak verildiğinden $ABC$ üçgeni bir $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ ikizkenar dik üçgenidir. Bu üçgende hipotenüs uzunluğu bir dik kenarın $\sqrt{2}$ katına eşittir; dolayısıyla $|BC| = |AB|\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ eşitliğinden dik kenarlar $|AB| = |AC| = 10$ birim bulunur. Üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamı olduğundan $|AB| + |AC| + |BC| = 10 + 10 + 10\sqrt{2} = 20 + 10\sqrt{2}$ birim olarak hesaplanır. Dik kenarlardan sadece birini çevreye katanlar $10+10\sqrt{2}$ çeldiricisine yönelebilir.

Kısaca — Taban uzunluğu $|BC| = 8\sqrt{3}$ birim olup $ABC$ üçgeninin çevresi $16+8\sqrt{3}$ birimdir.

$ABC$ ikizkenar üçgeninde tepe açısı $120^\circ$ ve eşit kenarlar $|AB| = |AC| = 8$ birimdir. Tepe açısından tabana indirilen dikme hem tabanı iki eşit parçaya böler hem de tepe açısını $60^\circ$-$60^\circ$ şeklinde ikiye ayırır. Oluşan $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ dik üçgeninde hipotenüs 8 birim olduğundan $30^\circ$’nin karşısındaki yükseklik 4 birim, $60^\circ$’nin karşısındaki taban parçası ise $4\sqrt{3}$ birim olur. Buradan tabanın tamamı $|BC| = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ birim bulunur. Üçgenin çevresi $|AB| + |AC| + |BC| = 8 + 8 + 8\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3}$ birimdir.

Kısaca — $|BM|$ uzunluğu $2\sqrt{7}$ birimdir.

Eşkenar üçgende çizilen $AH$ yüksekliği $BC$ tabanını iki eşit parçaya böldüğü için $|BH| = 4$ birim ve $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ üçgeninden $|AH| = 4\sqrt{3}$ birim olur. $M$ noktası $AH$ doğru parçasının orta noktası olarak tanımlandığından $|MH| = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ birimdir. Yükseklik tabana dik olduğundan $BMH$ üçgeni $H$ açısı $90^\circ$ olan bir dik üçgendir. Bu üçgende Pisagor teoremini kurarsak $|BM|^2 = |BH|^2 + |MH|^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2 = 16 + 12 = 28$ eşitliğinden $|BM| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ birim bulunur.