Sembolik Mantık (Önermeler Mantığı) — AYT soruları

Kısaca — Öncüllere art bileşeni değilleme (modus tollens) kuralı uygulandığında zorunlu olarak $\sim p \land \sim q$ sonucuna ulaşılır.

Verilen öncülleri zincirleme olarak değerlendirelim: $q \Rightarrow r$ öncülü ile $\sim r$ öncülünden, art bileşenin değillenmesi kuralıyla $\sim q$ sonucu zorunlu olarak çıkar. Elde ettiğimiz $\sim q$ sonucunu $p \Rightarrow q$ öncülüne uyguladığımızda, yine aynı kuralla $\sim p$ sonucuna varırız. Hem $\sim p$ hem de $\sim q$ kesin olarak doğru olduğuna göre, bu iki önermenin tümel evetlemesi olan $\sim p \land \sim q$ önermesi zorunlu olarak doğrudur. Öncüllerden herhangi bir olumlu sonuca ulaşılamayacağı için olumlu bileşen içeren seçenekler doğrudan elenir.

Kısaca — Modus ponens kuralının koşullu önerme biçimi olan $[(p \Rightarrow q) \land p] \Rightarrow q$ önermesi, tüm yorumlamalarında doğru değerini alan bir totolojidir.

Bir koşullu önermenin yanlış olabilmesi için tek durum, ön bileşenin doğru ($D$) iken art bileşenin yanlış ($Y$) olmasıdır. Burada ön bileşen olan $[(p \Rightarrow q) \land p]$ doğru kabul edildiğinde, tümel evetleme gereği hem $p \Rightarrow q$ hem de $p$ doğru olmak zorundadır. $p$ doğru iken $p \Rightarrow q$ önermesinin doğru kalabilmesi ise ancak art bileşen olan $q$’nun da doğru olmasıyla mümkündür. Dolayısıyla ön bileşenin doğru olduğu her durumda art bileşen de zorunlu olarak doğru çıkmakta ve $D \Rightarrow Y$ durumu asla oluşmadığından ifade bir totoloji oluşturmaktadır.

Kısaca — Öncüllerin tümü doğruyken sonucun yanlış olduğu bir değerleme bulunabildiği için $(p \lor q) \Rightarrow r$, $r \Rightarrow s$, $s$, $\sim q$; sonuç: $p$ çıkarımı geçersizdir.

Bir çıkarımın geçersiz olduğunu göstermek için öncülleri doğru, sonucu yanlış yapan tek bir karşı-örnek değerleme bulmak yeterlidir. $p \equiv Y$, $q \equiv Y$, $r \equiv Y$ ve $s \equiv D$ değerlerini atayalım. Bu değerlemede $(p \lor q) \Rightarrow r \equiv Y \Rightarrow Y \equiv D$, $r \Rightarrow s \equiv Y \Rightarrow D \equiv D$, $s \equiv D$ ve $\sim q \equiv D$ olup tüm öncüller doğru değerini alırken, sonuç olan $p$ yanlış ($Y$) kalır. Koşullu önermelerde art bileşenin doğru olmasından ön bileşenin doğruluğu çıkarılamayacağı için bu akıl yürütme tipik bir art bileşeni onaylama yanılgısıdır.