Kütle Merkezi — AYT konu anlatımı ve örnek sorular

Kütle Merkezi, bir sistemdeki kütlelerin konumlarına ve büyüklüklerine bağlı olarak ortak merkezin belirlenmesini kapsar.

Öğrencinin noktasal cisimlerin koordinatlarını kütleleriyle ağırlıklandırması, türdeş cisimlerde simetriden yararlanması ve eklenen ya da çıkarılan parçaların merkeze etkisini hesaplaması gerekir. AYT Fizik sorularında eksen üzerinde yerleştirilen cisimler, ucuna kütle eklenen çubuklar veya içinden parça çıkarılan diskler üzerinden koordinat, uzaklık ya da kayma miktarı sorulabilir.

Seçenekler genellikle sayısal uzaklıklar veya yarıçapa bağlı ifadeler içerir. Başlangıç noktasını karıştırmak, kütleleri dikkate almadan konumların ortalamasını almak ve çıkarılan parçanın etkisini yanlış yönde değerlendirmek sık yapılan hatalardır.

Örnek sorular

Bir şık seç, doğru mu değil mi hemen görürsün — hiçbir şey kaydedilmez, hesap gerekmez.

1. soruKolay

$x$ ekseni üzerinde $x=0$ , $x=2\,\text{m}$ ve $x=8\,\text{m}$ noktalarına sırasıyla 4 kg, 2 kg ve 6 kg kütleli noktasal cisimler yerleştirilmiştir.

Buna göre sistemin kütle merkezinin $x$ koordinatı kaç metredir?

Cevabı göster

Cevap: E — $\dfrac{13}{3}$

Kısaca — Sistemin kütle merkezinin $x$ koordinatı $\dfrac{13}{3}\,\text{m}$ ’dir.

Bir doğru üzerindeki noktasal parçacıkların kütle merkezi formülü $x_{\text{km}} = \dfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ ile hesaplanır. Değerleri yerine koyduğumuzda pay kısmı $4 \cdot 0 + 2 \cdot 2 + 6 \cdot 8 = 0 + 4 + 48 = 52$ , payda ise toplam kütle olan $4 + 2 + 6 = 12\,\text{kg}$ olur. Buradan $x_{\text{km}} = \dfrac{52}{12} = \dfrac{13}{3}\,\text{m}$ elde edilir. En yaygın çeldirici olan 4 m, kütleleri dikkate almayıp sadece koordinatların aritmetik ortalamasını veya orta noktasını alan hatalı yaklaşımlardan kaynaklanır.

2. soruKolay

Uzunluğu 80 cm ve kütlesi 300 g olan düzgün türdeş bir çubuğun bir ucuna 100 g kütleli noktasal bir cisim yapıştırılmıştır.

Buna göre sistemin kütle merkezi, noktasal cismin yapıştırıldığı uçtan kaç $\text{cm}$ uzaklıktadır?

Cevabı göster

Cevap: B — 30

Kısaca — Sistemin kütle merkezi, noktasal cismin yapıştırıldığı uçtan 30 cm uzaklıktadır.

Düzgün ve türdeş çubuğun kendi ağırlık merkezi tam orta noktasında, yani uçtan 40 cm mesafededir. Noktasal cismin bulunduğu ucu orijin ( $x = 0$ ) kabul edersek 100 g’lık kütle $x = 0$ ’da, 300 g’lık çubuk kütlesi ise $x = 40\,\text{cm}$ ’dedir. Sistemin kütle merkezi $x_{\text{km}} = \dfrac{100 \cdot 0 + 300 \cdot 40}{100 + 300} = \dfrac{12000}{400} = 30\,\text{cm}$ olarak bulunur. Öğrenciler sıklıkla çubuğun tüm uzunluğu olan 80 cm’yi kütle merkezi konumu sanarak 40 cm veya 50 cm gibi çeldiricilere yönelebilmektedir.

3. soruOrta

Yarıçapı $R$ olan düzgün türdeş bir diskten, merkezi büyük diskin merkezinden $\dfrac{R}{2}$ uzaklıkta olan ve yarıçapı $\dfrac{R}{2}$ olan dairesel bir parça kesilip çıkarılmıştır.

Buna göre kalan parçanın kütle merkezi, büyük diskin merkezine göre deliğin bulunduğu yönün tersine kaç $R$ kayar?

\dfrac{1}{12}

✗ Bu değil

\dfrac{1}{8}

✗ Bu değil

\dfrac{1}{6}

✓ Doğru

\dfrac{1}{4}

✗ Bu değil

\dfrac{1}{3}

✗ Bu değil

Cevabı göster

Cevap: C — $\dfrac{1}{6}$

Kısaca — Kalan parçanın kütle merkezi, büyük diskin merkezine göre deliğin tersi yönde $\dfrac{R}{6}$ kadar kayar.

Levha türdeş olduğundan kütleler alanlarla orantılıdır: yarıçapı $R$ olan diskin alanı $\pi R^2$ ( $M$ ), yarıçapı $R/2$ olan çıkarılan parçanın alanı ise $\pi (R/2)^2 = \dfrac{\pi R^2}{4}$ (yani $M/4$ ) olur. Büyük diskin merkezini orijin ( $x = 0$ ), çıkarılan parçanın merkezini $+x$ yönünde ( $x = +R/2$ ) kabul edersek negatif kütle yöntemiyle kütle merkezinin yeri $x_{\text{km}} = \dfrac{M \cdot 0 - (M/4) \cdot (R/2)}{M - M/4} = \dfrac{-MR/8}{3M/4} = -\dfrac{R}{6}$ bulunur. Eksi işareti kaymanın deliğin tersi yönde olduğunu gösterir; kayma miktarı $\dfrac{R}{6}$ ’dır. Çıkarılan parçanın kütlesini alan oranı yerine yarıçap oranıyla $M/2$ alan öğrenciler sıklıkla yanlış seçeneklere yönelir.

Kütle Merkezi — AYT soruları

Konu özeti

Örnek sorular

Diğer AYT konuları

Fizik