TYT Matematik denemesi

Maliyet 80 TL’dir. $\%25$ kâr için satış fiyatı $80\cdot 1{,}25=100$ TL olur. Ölçek ürün bilgisidir; hesapta kullanılmaz.

Kısaca — Beş elemanlı bir kümenin 32 alt kümesi vardır.

Bir alt küme oluştururken kümedeki her eleman için iki bağımsız seçim yapılır: elemanı alt kümeye almak veya almamak. Bu nedenle alt küme sayısı $2^5=32$ olur.

Koşulu sağlayan sayılar 25, 28 ve 58 olduğundan toplam 3 farklı artan sayı vardır.

Kısaca — Y hattının üstünlüğünün en büyük olduğu zaman 3. saattir.

Tablodaki her saat için Y üretiminden X üretimini çıkarırsan farklar sırasıyla $4,-8,6,-6$ olur. Pozitif fark yalnızca 1. ve 3. saatlerde Y hattının daha fazla ürettiğini gösterir. Bu iki farktan büyük olanı 6 olduğundan aranan saat 3’tür.

Kısaca — En küçük değer $k=14$ olur.

Bir sayının tam kare olması için asal çarpanlarının bütün üsleri çift olmalıdır. $2^3$ için bir tane daha 2, $7^1$ için bir tane daha 7 gerekir; $3^2$ zaten uygundur. Bu nedenle $k=2×7=14$ seçilir.

Okunan toplam sayfa sayısı planlanan toplama eşit olduğundan günlük farkların toplamı 0 olmalıdır. Bilinen farkların toplamı $40-80-120-60+70+50=-100$ olduğuna göre Cem cuma günü planladığından 100 sayfa fazla okumuştur.

İlk 6 günde 30 işçi-gün iş biter, kalan 68 işçi-gündür. $(5+x)\cdot4\ge68$ eşitsizliğinden $5+x\ge17$ ve $x\ge12$ bulunur.

Tanım için $x\ge\dfrac{3}{4}$ ve $2\sqrt{x}-1\ge 0$ gerekir. Kare alınınca $4x-3=4x-4\sqrt{x}+1$ olup $\sqrt{x}=1$ yani $x=1$ bulunur; bu değer denklemi sağlar.

Kısaca — Doğru sıralama $g(b)<g(c)<g(a)$ biçimindedir.

Kesikli düşey çizgilerin $g$ grafiğini kestiği yükseklikleri karşılaştırdığında $b$ noktasındaki değer en aşağıda, $a$ noktasındaki değer en yukarıdadır. $c$ noktasındaki yükseklik de bu ikisinin arasında kalır. Dolayısıyla $g(b)<g(c)<g(a)$ elde edilir.

Başlangıç sayıları $5k$ ve $3k$ olsun. Doğu rafında satıştan sonra $4k$ kitap kalır; aktarım sonrası $4k-8=3k+8$ olduğundan $k=16$ bulunur. Başlangıçtaki toplam $8k=128$ kitaptır.

Kısaca — X takımının toplam puanı 14 olamaz.

X takımının yarışma sonundaki toplamına $T$ dersek ikinci tur puanları sırasıyla $T-5$ ve $T-9$ olur. İkinci tur toplamı $2T-14$, iki turun toplam puanları arasındaki fark ise $y=|14-(2T-14)|=2|T-14|$ olur. $|y-7|<4$ eşitsizliğinden $3<y<11$, dolayısıyla $1{,}5<|T-14|<5{,}5$ elde edilir. Tam sayı puanlar için mümkün toplamlar 9,10,11,12,16,17,18,19 olduğundan 14 mümkün değildir.

A musluğu 315, B musluğu 180 litre ekler; C musluğu ise $8(21-x)$ litre boşaltır. $200+315+180-8(21-x)=599$ eşitliğinden $8x=72$ ve $x=9$ bulunur.

Fotoğrafın kenarları $5k$ ve $3k$ olsun. $15k^2=540$ olduğundan $k=6$ ve fotoğrafın kenarları 30 cm ile 18 cm’dir. Eşit çerçeve genişliği $x$ için $\dfrac{30+2x}{18+2x}=\dfrac{3}{2}$ eşitliğinden $x=3$ bulunur; dış alan $36\cdot24=864\text{ cm}^2$’dir.

Beş aktivitenin $5!=120$ sıralamasından koşu–yüzme sırası ve ödev–oyun sırası bağımsız olarak her birinde yarısını elediğinden kalan sıralama sayısı $120/(2\cdot2)=30$’dur.

Satırlardaki dolu göz sayıları 2,3,2,2; sütunlardaki sayılar 2,1,2,2,2 olduğundan $p$ ve $q$ doğru, $r$ yanlıştır. Dolu gözler $180°$ dönmede eşleşmediği için $s$ de yanlıştır; bu durumda yalnızca $(p\wedge q)\Rightarrow(r\vee s)$ yanlış olur.

Çarpımları eşitleyen paylaşım $2\cdot4\cdot6=3\cdot16=48$ biçimindedir. Bu iki kefedeki blokların toplam kütleleri sırasıyla 12 ve 19 kilogram olduğundan hafif kefeye en az 7 tane 1 kilogramlık ağırlık konulmalıdır.

Kısaca — Ölçümlerin eşit çıkma olasılığı $\dfrac{1}{4}$’tür.

Sonuçlar ya 70 kg olan kişi doğru, 71 kg olan kişi 1 kg eksik tartıldığında ya da ilki 1 kg fazla, ikincisi doğru tartıldığında eşitlenir. Bağımsız ölçümlerin olasılıklarını çarpıp bu iki durumu toplarsan $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$ bulursun; iki kişinin sırasıyla 1 kg fazla ve 1 kg eksik tartılması ise 71 ile 70 sonuçlarını verdiği için eşitlik sağlamaz.

Kısaca — Kutuya atılmayan kartın üzerinde 216 yazılıdır.

$16=4^2$ ve $64=4^3$ olduğundan bu iki sayının tabanı 4 olabilir; $81=3^4$ ve $625=5^4$ olduğundan bunların da üssü 4 olabilir. $216=6^3$ biçimindedir, ancak ne 4 tabanlı bir doğal sayı kuvvetidir ne de bir doğal sayının dördüncü kuvvetidir. Bu yüzden koşulu sağlamayan tek sayı 216’dır.

Kısaca — Farkın 3 olması mümkün değildir.

Toplamı 11 olan çiftler $(1,10)$, $(2,9)$, $(3,8)$, $(4,7)$ ve $(5,6)$’dır. İlk, ikinci, üçüncü ve beşinci çiftlerin çarpımları sırasıyla başka biçimlerde de yazılabilir: $10=2\cdot5$, $18=3\cdot6$, $24=4\cdot6$ ve $30=3\cdot10$. Ancak 28 yalnızca $4\cdot7$ biçiminde elde edildiğinden Arda çarpımı duyunca kartları bulabilirdi; bu nedenle $(4,7)$ seçilemez ve fark 3 olamaz.

$b=a+7$ olduğundan $\dfrac{2}{5}<\dfrac{a}{a+7}<\dfrac{3}{7}$ eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlikler $a>\dfrac{14}{3}$ ve $a<\dfrac{21}{4}$ koşullarını verdiği için $a=5$, $b=12$ ve $a+b=17$ olur.

Kısaca — Yelkovanın gösterebileceği en büyük tam dakika değeri 27’dir.

Saat 3’ten $m$ dakika sonra akrep ile yelkovan arasındaki açı $|90-5{,}5m|$ olduğundan $|90-5{,}5m|\le 60$ yaz. Bu eşitsizlikten $\dfrac{60}{11}\le m\le\dfrac{300}{11}$ elde edilir. Üst sınır yaklaşık 27,27 olduğu için en büyük tam değer 27’dir; $m=28$ için açı $64^\circ$ olur ve sınırı aşar.

Boyalı bölgenin I doğrusunun altında olması $a+b>0$’ı, I doğrusunun pozitif $y$ ekseni kesimi de $a>0$’ı verir; pozitif $x$ ekseni kesiminden $a-b>0$ bulunur. II doğrusunun negatif $x$ ekseni kesimi $a-2b<0$ olduğundan bu bilgiler $\dfrac{a}{2}<b<a$ biçiminde birleşir.

Kısaca — Her zaman çift olan ifadeler I ve III’tür.

İlk koşuldan $a+b=2kc$ yazılabildiği için $a+b$ çifttir; dolayısıyla $a$ ile $b$ aynı tek-çiftliktedir. İkinci koşul $a+c=(2m+1)b$ biçimindedir ve buradan $a+c$ ile $b$ aynı tek-çiftlikte olduğundan $c$ çift çıkar. Böylece $a+b+c$ çifttir; ayrıca $c$ çift olduğu için $\dfrac{c(a+b)}{2}$ de çifttir. Buna karşılık $a=1$, $b=3$, $c=2$ koşulları sağladığı hâlde $ab+c=5$ olur; bu nedenle II her zaman çift değildir.

Kısaca — Akrep ile yelkovan arasındaki açı, $90°$’den büyük olarak toplam $\dfrac{300}{11}$ dakika kalır.

Saat 5.00’te iki ibre arasındaki açı $150°$’dir; yelkovan dakikada $6°$, akrep ise $0{,}5°$ ilerlediği için aralarındaki fark dakikada $5{,}5°$ değişir. Bu nedenle $m$ dakika sonraki küçük açı $|150-5{,}5m|$ olup $|150-5{,}5m|>90$ eşitsizliği $0\le m<\dfrac{120}{11}$ veya $\dfrac{480}{11}<m\le60$ aralıklarında sağlanır. Aralıkların uzunluklarını topladığında $\dfrac{120}{11}+\left(60-\dfrac{480}{11}\right)=\dfrac{300}{11}$ dakika bulursun.

Kısaca — En küçük uygun $n$ sayısının asal üsleri 2,1,2,3 olduğundan bölen sayısı 72dir.

$84=2^2\cdot3\cdot7$ ve $90=2\cdot3^2\cdot5$ biçiminde asal çarpanlarına ayrılır. $84n$deki üslerin çift, $90n$deki üslerin ise 3ün katı olması için her asalın $n$deki en küçük üslerini ayrı ayrı seçmelisin. Bu koşullar $n=2^2\cdot3\cdot5^2\cdot7^3$ sayısını verir. Dolayısıyla pozitif bölen sayısı $(2+1)(1+1)(2+1)(3+1)=72$ olur.

Kısaca — Rakamlar $(a,b,c)=(7,2,5)$ olduğundan $X=72572$’dir.

Tablodaki ilk fark $X-Y=9009(a-b)=45045$ olduğundan $a=b+5$ bulunur. $a+b+c=14$ eşitliği bu kez $c=9-2b$ verir. Diğer farkı basamak değerleriyle yazarsan $X-Z=9009a+901b-9910c=15315$ olur. $a=b+5$ ve $c=9-2b$ yazıldığında $29730b-44145=15315$ elde edilir; buradan $b=2$, $a=7$ ve $c=5$ bulunur.

Kısaca — Selin sayaca 14 Şubat Cumartesi günü saat 09.39.28'de bakmıştır. Yıl 2032 olduğundan dakika ve saniye alanları sırasıyla 20 ve 32’dir. Ocak ayında bakılsaydı gün alanı 01 olmalıydı; ancak açılışa yalnız bir gün kaldığında tarih şubat ayındadır. Bu nedenle ay şubat, kalan gün sayısı 2’dir. Açılıştan 2 gün çıkarıldığında 15 Şubat 00.00.00'a ulaşılır; kalan saat, dakika ve saniye de çıkarılınca tarih 14 Şubat olur. Dolayısıyla saat alanı 14’tür. Açılıştan 2 gün 14 saat 20 dakika 32 saniye çıkarınca 14 Şubat Cumartesi 09.39.28 bulunur.

Kısaca — Sonradan eklenen üç sürenin toplamı 165 dakika olduğundan ortalamaları 55 dakikadır.

İlk kayıtlı toplam $18\cdot42=756$ dakikadır. Düzeltmeler toplamı $(42-24)+(85-58)=45$ dakika artırdığı için 18 kişiye ait doğru toplam 801 olur. Son durumda toplam $21\cdot46=966$ dakika olduğundan eklenen üç sürenin toplamı $966-801=165$, ortalaması ise $\dfrac{165}{3}=55$ dakikadır.

Kısaca — Tam olarak iki kümeye ait 18 belge vardır.

Her çift için birleşim, simetrik fark ile kesişimin ayrık birleşimidir; bu nedenle ikili kesişimlerin büyüklükleri $35-21=14$, $33-20=13$ ve $34-19=15$ olup toplamları 42’dir. Ayrıca her satırda birleşim ile kesişimin toplamı ilgili iki kümenin büyüklükleri toplamını verir; buradan $|A|+|B|+|C|=72$ elde edilir. Kapsama-dışlama bağıntısı $38=72-42+|A\cap B\cap C|$ olduğundan üçlü kesişim 8’dir. İkili kesişimlerin toplamı tam iki kümedekileri birer, üçlü kesişimdekileri üçer kez saydığı için istenen sayı $42-3\cdot8=18$ olur.

$4k + 6 = 3(k + 6)$ eşitliğinden $4k + 6 = 3k + 18 \Rightarrow k = 12$ bulunur. Doluluk oranı $\dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2}$ olduğundan dolu koltuk 28, boş koltuk $56 - 28 = 28$’dir. (Yaş farkı 36 olup zamandan bağımsızdır; soru boş koltuğu ister.)

Orta taban $\dfrac{|AD|+|BC|}{2}=13$ ve $|BC|-|AD|=10$ olduğundan tabanlar 8 ve 18 birim bulunur. Alan orta taban ile yüksekliğin çarpımıdır: $13\times 8=104$ birimkaredir.

Kısaca — Merdivenlerin kesişim noktası yerden 3 metre yüksektedir.

Kesişim noktasının sol duvara yatay uzaklığına $x$, yüksekliğine $h$ diyelim. Sol tabandan sağ duvarda 4 metre yüksekliğe çıkan merdiven üzerinde $h=\dfrac{4x}{6}$ olur. Sol duvarda 12 metre yüksekten sağ tabana inen merdiven üzerinde ise $h=12-\dfrac{12x}{6}$ yazılır. İki yüksekliği eşitlediğinde $x=\dfrac{9}{2}$ ve $h=\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{9}{2}=3$ metre bulunur.

Küp $5\times 5\times 5$ küçük küpe ayrılır. Üç boyalı yüzde toplam $3\times 25$ küçük küp vardır; ikişer ikişer paylaşılan üç kenardaki $3\times 5$ ve üç kez sayılan 1 köşe düzeltilince $75-15+1=61$ bulunur.

Kısaca — 10. ışının deponun üst kenarıyla yaptığı dar açı $77°$’dir.

1. ışından 13. ışına kadar geçen 12 dönüşte altışar kez $2\alpha$ ve $3\alpha$ uygulanır; toplam dönüş $6(2\alpha + 3\alpha) = 30\alpha = 360°$ olduğundan $\alpha = 12°$ bulunur. 10. ışına ulaşmak için yapılan 9 dönüşün 5'i $2\alpha$, 4'ü $3\alpha$ kadardır; dolayısıyla toplam dönme açısı $5(2\alpha) + 4(3\alpha) = 22\alpha = 22 \cdot 12° = 264°$ olur. Görselde sağ yatay kenarla $7°$ açı yapan 1. ışından saat yönünde $264°$ dönüldüğünde, ışın deponun üst kenarına yönelir. Yatay doğrultu üzerinden hesaplandığında ($264° - 7° - 180° = 77°$), 10. ışının yatay olan üst kenarla yaptığı dar açı $77°$ olarak elde edilir. İlk 9 dönüşte $2\alpha$ ve $3\alpha$ adetlerini ters alarak $23\alpha$ hesaplamak en güçlü çeldiriciye götürür.

Kısaca — Dron, kuzey yönünden saat yönünde $120^\circ$ dönmelidir. $B$ noktasındaki dönüşten sonra dron doğunun $60^\circ$ güneyine yönelir. Aldığı $6\sqrt3$ metrelik yolun doğu bileşeni $3\sqrt3$, güney bileşeni 9 metredir. Böylece $C$, $A$’nın 4 metre kuzeyinde ve $3\sqrt3$ metre doğusundadır. $D$ ise $A$’nın 7 metre kuzeyinde olduğundan, $D$’den $C$’ye ulaşmak için $3\sqrt3$ metre doğuya ve 3 metre güneye ilerlemek gerekir. Doğuyla yapılan açı için $\tan\alpha=\dfrac{3}{3\sqrt3}=\dfrac1{\sqrt3}$ olduğundan $\alpha=30^\circ$ bulunur. Kuzeyden saat yönündeki dönüş $90^\circ+30^\circ=120^\circ$ olur.

Kısaca — Katlanan 8 birimkarelik ikizkenar dik üçgen kâğıdın üzerine bindiğinden düzlemde kaplanan alan 88 birimkare olur.

İlk katlamadan sonra oluşan $ABCD$ dikdörtgeninin kenarları 8 ve 12 birim olup alanı $8 \cdot 12 = 96$ birimkaredir. $A$ köşesi orijin kabul edildiğinde $C$ noktası $(8,12)$, kenarlara uzaklıkları verilen $C'$ noktası ise $(4,8)$ koordinatlarına sahip olur. Katlama çizgisi $[CC']$ doğru parçasının orta dikmesidir; bu doğru kenarları $(4,12)$ ve $(8,8)$ noktalarında keserek dik kenarları 4 birim olan bir dik üçgen oluşturur. Katlanan bu üçgenin alanı $\dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8$ birimkaredir. Katlanan parça kâğıdın iç bölgesinde kaldığı için kâğıdın düzlemde kapladığı alan bir kat kadar azalır ve $96 - 8 = 88$ birimkareye düşer.

$|XY|=\sqrt{8^2+6^2}=10$ birim, bu uzaklık 25 km olduğundan ölçek 1 birim $=2{,}5$ km’dir. $|XZ|=\sqrt{12^2+0^2}=12$ birim olup gerçek uzaklık $12\times2{,}5=30$ km’dir. 60 km/saat hızla bu yol $\dfrac{30}{60}=0{,}5$ saat, yani 30 dakikada alınır.

Tabana paralel kesitte benzerlik oranı $\dfrac{1}{2}$ olduğundan küçük piramidin hacmi $216\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=27$ birimküptür. Altta kalan kesik piramidin hacmi $216-27=189$ birimküptür.

Kısaca — Levhanın alanı $54\sqrt{3}$ birimkaredir.

Düzgün altıgen, merkezinden köşelerine çizilen doğru parçalarıyla 6 adet eşkenar üçgene bölünür. Şekilde kenar uzunluğu 6 birim olarak verilen bu üçgenlerden birinin alanı $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ birimkaredir. Levhanın tamamı bu eş üçgenlerden 6 tanesinden oluştuğu için toplam alan $6 \cdot 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ birimkare bulunur. Yalnızca bir üçgenin alanını hesaplayıp bırakmak ($9\sqrt{3}$) ya da katsayıyı 4 alarak $36\sqrt{3}$ bulmak çeldiricilere yönlendiren başlıca yanılgılardır.

Kısaca — Üçgenin çevresi kenar uzunluklarının toplamı olduğundan bilinmeyen kenar $x = 17$ birimdir.

Bir üçgenin çevresi tüm kenar uzunluklarının toplamına eşittir. Kenarları 8, 15 ve $x$ birim olan bu üçgende $8 + 15 + x = 40 \implies 23 + x = 40 \implies x = 17$ birim bulunur.

Bulunan bu değer $|15 - 8| < 17 < 15 + 8 \implies 7 < 17 < 23$ üçgen eşitsizliğini de sağladığından geometrik olarak geçerlidir. Ayrıca $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ sağlandığı için bu üçgen kenarları tam sayı olan özel bir dik üçgendir.