LGS · Yarışma tarzı sorular

Bir cevap seç, sonra sorunun altındaki çözümü açarak doğru cevabı ve nasıl çözüldüğünü gör. Seçtiklerin bu tarayıcıda saklanır.

1. soru

Yarışma tarzıÇarpanlar ve Katlar

$n$ pozitif tam sayı olmak üzere $E B O B (40, n) = 8$ ve $E B O B (63, n) = 7$ olduğuna göre 300’den küçük $n$ sayısı en çok kaçtır?

56✗ Bu değil112✗ Bu değil224✓ Doğru280✗ Bu değil

Çözümü göster

Cevap: C — 224

Buradaki fikir ortak böleni asal üslerin en küçüğü olarak okumaktır. 40 sayısı 8 · 5 olduğundan birinci koşul $n$ de 2 çarpanının en az üç kez bulunmasını ve 5 çarpanının hiç bulunmamasını gerektirir, yoksa ortak bölen 8 olmazdı. 63 sayısı 7 · 9 olduğundan ikinci koşul $n$ de 7 çarpanının bulunmasını ve 3 çarpanının hiç bulunmamasını gerektirir. Demek ki $n$ sayısı 8 ile 7 nin ortak katı olan 56 nın katı olmalı ama içinde 3 ve 5 çarpanı olmamalıdır. 300 den küçük 56 katları 56, 112, 168, 224 ve 280 olur. Bunlardan 168 içinde 3 ve 280 içinde 5 olduğundan elenir. Geriye 56, 112 ve 224 kalır. En büyüğü 224 olur ve gerçekten iki koşulu da sağlar.

2. soru

Yarışma tarzıEşlik ve Benzerlik

$A B$ doğrusunun aynı tarafında $C$ ve $D$ noktaları veriliyor. $C$ noktasının $A B$ doğrusuna uzaklığı 7 cm, $D$ noktasının $A B$ doğrusuna uzaklığı 25 cm ve bu iki dikmenin $A B$ üzerindeki ayakları arasındaki uzaklık 24 cm’dir. $A B$ üzerinde bir $P$ noktası alınıyor. $P C + P D$ toplamının alabileceği en küçük değer kaç santimetredir?

30✗ Bu değil32✗ Bu değil40✓ Doğru56✗ Bu değil

Çözümü göster

Cevap: C — 40

Asıl fikir $C$ noktasının $A B$ doğrusuna göre yansımasını alıp eşlikten uzunluk taşımaktır. Yansıma $A B$ doğrusuna göre eşlik verdiğinden yansıyan $C^{'}$ noktası için her $P$ noktasında $P C = P C^{'}$ olur ve böylece $P C + P D = P C^{'} + P D$ yazılır. İkinci fikir üçgen eşitsizliğidir. $P C^{'} + P D$ toplamı $C^{'}$ , $P$ ve $D$ noktaları aynı doğru üzerinde olduğunda en küçüktür ve bu en küçük değer $C^{'} D$ uzunluğuna eşittir. Yansıma dik uzaklıkları topladığından dik kenarlar $7 + 25 = 32$ cm ve 24 cm olur. Pisagor ile $C^{'} D = \sqrt{3 2^{2} + 2 4^{2}} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40$ cm bulunur. Yansımayı görmeden $P$ noktasını değişkenle denemek köklü denklemlere götürür ve hesap makinesiz bitmez.

3. soru

Yarışma tarzıEşlik ve Benzerlik

Bir köşesi $O (0, 0)$ noktası olan, diğer iki köşesinin $x$ ve $y$ koordinatlarının her biri doğal sayı olan ve kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan üçgenler çiziliyor. Köşe sırasının değişmesi yeni üçgen sayılmayacağına göre kaç farklı üçgen çizilebilir?

2✗ Bu değil4✗ Bu değil6✓ Doğru12✗ Bu değil

Çözümü göster

Cevap: C — 6

Asıl fikir eşliğin kenarlarını Pisagor ile kafes koşullarına çevirmektir. Başlangıç noktasına uzaklığı 3, 4 veya 5 olan doğal koordinatlı noktalar tek tek yoklanır. İkinci fikir sayılabilecek durumları daraltan tam kare çözümlemesidir. $a^{2} + b^{2} = 9$ yalnızca $(3, 0)$ ve $(0, 3)$ noktalarını, $a^{2} + b^{2} = 16$ yalnızca $(4, 0)$ ve $(0, 4)$ noktalarını, $a^{2} + b^{2} = 25$ yalnızca $(5, 0)$ , $(0, 5)$ , $(3, 4)$ ve $(4, 3)$ noktalarını verir. Böylece 3 ve 4 uzunluğundaki kafes parçalarının eksenlere paralel olduğu görülür. Bu daraltmayla başlangıç noktasından 3 ve 4 uzaklıktaki iki noktanın 5 uzaklıklı olması 2 durum, 3 ile 5 uzaklıkların 4 uzaklıklı olması 2 durum, 4 ile 5 uzaklıkların 3 uzaklıklı olması 2 durum verir. Toplam 6 üçgen bulunur. Bu daraltma olmadan tüm nokta çiftlerini köklü uzaklıkla yoklamak bitmez.

4. soru

Yarışma tarzıEşlik ve Benzerlik

Bir köşesi O(0,0) noktası olan, diğer iki köşesinin x ve y koordinatlarının her biri doğal sayı olan ve kenar uzunlukları 3 birim, 4 birim ve 5 birim olan üçgenler çiziliyor. Aynı köşelere sahip üçgenler bir kez sayılmak üzere kaç farklı üçgen çizilebilir?

2✗ Bu değil4✗ Bu değil6✓ Doğru12✗ Bu değil

Çözümü göster

Cevap: C — 6

Bu sorunun ana fikri kenar uzunlukları verilen üçgenin köşelerini Pisagor bağıntısı yardımıyla koordinat düzleminde tek tek bularak saymaktır. Başlangıç noktasına uzaklığı 3 birim, 4 birim ya da 5 birim olan ve iki koordinatı da doğal sayı olan noktalar araştırılır. Kareler toplamı 9 olan durum yalnızca eksen üzerindeki iki noktayı verir, kareler toplamı 16 olan durum yine yalnızca eksen üzerindeki iki noktayı verir, kareler toplamı 25 olan durum ise eksen üzerindeki iki nokta ile birlikte birinci bölgede içte kalan iki noktayı verir. Böylece başlangıç noktasından çıkan 3 birim ve 4 birim uzunluğundaki parçaların eksenlere paralel olduğu görülür. Sonra uzaklıkları 3 ve 4 olan nokta çiftleri içinde uzaklığı 5 olanlar, uzaklıkları 3 ve 5 olan çiftler içinde uzaklığı 4 olanlar, uzaklıkları 4 ve 5 olan çiftler içinde uzaklığı 3 olanlar sayılır. Her gruptan ikişer durum gelir ve toplam altı farklı köşe çifti elde edilir.

5. soru

Yarışma tarzıKareköklü İfadeler

Bir oyun için üzerinde bir $n$ pozitif tam sayısı yazan kartlar hazırlanıyor. Karta yazılabilecek $n$ sayısının 12’nin katı olduğu, 150’den küçük olduğu, $\sqrt{48 n}$ ifadesinin bir tam sayıya eşit olduğu ve $50 < \sqrt{48 n} < 100$ olduğu bilinmektedir. Buna göre karta yazılabilecek $n$ sayısı kaç farklı değer alabilir?

1✓ Doğru2✗ Bu değil3✗ Bu değil4✗ Bu değil

Çözümü göster

Cevap: A — 1

Tek fikir, karekökün tam sayı olması için 48’deki kareli kısmı ayırıp üsleri çiftlemektir, ardından 12’nin katı olma ve aralık kesişimi sayıyı tekler. $48 = 16 \cdot 3$ olduğundan $\sqrt{48 n}$ ’nin tam sayı olması $n = 3 r^{2}$ olmasını gerektirir ve kök $12 r$ olur. $50 < 12 r < 100$ aralığından $r = 5, 6, 7, 8$ ve $n = 75, 108, 147, 192$ bulunur. Bunlardan 12’nin katı olanlar 108 ve 192’dir. 150’den küçük olma koşulu 192’yi eler, geriye yalnız 108 kalır, bu yüzden $n$ bir farklı değer alabilir.